По материалам ХIII ежегодной
конференции по направлению "Ценологические исследования".
О ЗАКОНЕ КОНКУРЕНТОВ
Сиротин Ю.А
Постановка задачи
Перед
авторами стояла задача нахождения экстремального размещения населения страны заданной численности 
при заданном
числе городов 
(при заданных
ограничениях). Каждое
размещение характеризуется единственным набором чисел ( спецификацией)
(1)
где 
- число
городов с 
жителями ( особями). Не для каждого числа т
жителей может существовать город. В наборе чисел (1) могут присутствовать нули, т.е.
для некоторых 
. Число всех
городов фиксировано,
набор (1) должен быть решением уравнения
.
(2)
Жители (особи),
проживающие в одном городе, составляют популяцию. Все популяции с одинаковым
числом жителей 
составляют касту с числом жителей 
. Для каст должно выполняться равенство
(3)
Чтобы найти экстремальное
размещение, надо построить целевую функцию, зависящую
только от переменных . Конечно, такая целевая функция
должна нести смысловую нагрузку.
Каждый набор (1), удовлетворяющий условиям (2) и (3), удовлетворяется не единственным размещением жителей. Среди размещений жителей фиксированного набора (1), есть эквивалентные (неразличимые) размещения и неэквивалентные (различимые). Неразличимость/различимость определяется смыслом решаемой задачи (предметной областью). Рассмотрим два поясняющих примера.
Пример
1. (жесткая
городская прописка). Эквивалентными
можно считать жителей, проживающих в одном городе (особи одной
популяции). Два варианта размещения жителей эквивалентны, если они отличаются перестановками (нумерацией) жителей
только внутри городов (популяций).Число всех перестановок
внутри одной 
популяции равно 
. Тогда для фиксированнго набора (спецификации) (1):
· число разрешенных перестановок для ой касты равно 
,
· число эквивалентных размещений жителей (особей)
равно 
.
· число неэквивалентных
размещений жителей (особей) равно 
.
Пример 2. (равноценный междугородный обмен). Эквивалентными можно считать жителей ( особей), составляющих одну касту.
Два варианта размещения жителей (особей) эквивалентны, если они отличаются перестановками жителей (особей) только внутри каст. Тогда для фиксированного набора (1):
· число
разрешенных перестановок для -ой касты равно 
,
· число
эквивалентных (неразличаемых)
размещений жителей (особей) равно 
.
· число
неэквивалентных (различаемых) размещений жителей (особей)
равно 
.
Ясно, что эквивалентность примера 2 сильнее эквивалентности примера 1, т.к. перестановки внутри каст включают в себя и перестановки внутри городов.
Набор (спецификация) (1) с минимальным числом неэквивалентных размещений для ограничений (2) и (3) и считается экстремальным (в смысловых рамках, задаваемых понятием эквивалентности). Ясно, что такой подход однозначно связан с энтропийной интерпретацией.
Таким образом, чтобы построить адекватную модель разбиений, необходимо определить, что такое эквивалентные размещения и уметь вычислять число неэквивалентных размещений. Как только что было показано, ответ на этот вопрос не единственен и должен определяться смыслом той предметной области, для которой строится модель.
Получение
экстремального состояния модели
Во всех работах [1, 7, 9, 10] в качестве целевой функции использовано выражение
(4)
Как
следует из приведенных примеров в формулу (4) дважды входят
перестановки внутри городов. Что это значит - не ясно. В работах [7, 9,
10] авторы для обоснования (4) используют термодинамическую аналогию,
однако она совсем не убедительна и не отвечает на вопрос: «Почему надо
дважды учитывать перестановки внутри городов?!». В
работе [1] , где впервые была предложена формула (4) для
обоснования «закона Ципфа-Крылова» встречаемости слов в тексте, выражение
(4) интерпретируется как «статистический вес». Для обоснования введение
множителя в знаменателе (4) авторы ссылаются на
гипотезу Крылова [11] «…что слова с одинаковой частотой
встречаемости играют в тесте одинаковую “связующую роль” в смысле
статистических закономерностей, а не по отношению к его конкретному содержанию.
Если эта гипотеза правильна, то перестановки внутри группы слов с одинаковой
частотой встречаемости также следует считать эквивалентными ». Однако,
в той же статье [1] авторы критично замечают «…что
гипотеза о статистической эквивалентности слов с одинаковой
встречаемостью …вызывает сомнения, поскольку при их перестановках в большинстве
случаев должны возникать несуразицы типа “рыбы по небу летают”.
Абсолютно справедливое замечание, однако именно формула
(4) и легла в основу так называемой «теории конкуренции»(ТК).
Так как функция 
монотонна,
то от задачи нахождения экстремума целевой функции (4) можно перейти к
задаче нахождения экстремума 
(квазиэнтропии). Можно даже от задачи нахождения
минимума перейти к задаче нахождения максимума функции 
и даже назвать ее отрицательной энтропией
(негэнтропией). Любая из этих целевых функций приводит к одному и тому же
решению, однако, с математической точки зрения, такой переход целесообразен в
связи с возможностью использования приближенной формулы Стирлинга 
, справедливой при больших 
.
Таким образом, в рамках ТК, надо найти точку (1)
минимума функции переменных
(5)
среди
всех точек (1) -мерного пространства, которые удовлетворяют
ограничениям (2) и (3). Это типовая задача на условный экстремум, которая
стандартно решается методом множителей Лагранжа (см. например [12]).
Метод Лагранжа увеличивает размерность пространства на число условий ограничения (в рассматриваемой задаче их два (1) и (2)) и позволяет:
· от задачи условного экстремума на пространстве переменных перейти
к задаче безусловного экстремума на пространстве 
переменных 
;
· для нахождения стационарных точек (точек экстремума)
использовать необходимые условия безусловного экстремума -
равенство нулю частных производных функции Лагранжа 
для
всех переменных.
Необходимое условие безусловного экстремума приводит к системе уравнений
,
(6)
, 
(7)
для
нахождения стационарной точки 
.
Априори такая точка не единственна. Следует подчеркнуть, что множители
Лагранжа 
должны быть определены одновременно с набором 
.
Достаточные условия требуют, кроме того, и нахождения вторых частных
производных в каждой стационарной точке .
В теории конкурентов [7, 9, 10] поставленная экстремальная задача также решается методом множителей Лагранжа. Однако не корректно, что приводит к неправильной интерпретации множителей Лагранжа как параметров «семейства» решений.
Так, в [7] составляется функция Лагранжа
,
(8)
где
и определены
(2) и (3). Однако частные производные по множителям Лагранжа равны 
, 
, а условие (6) дает 
. 
. Положение исправляется, если правильно составить
функцию Лагранжа
(9)
Использование
функции Лагранжа (9) дает 
,
.
Частные
производные 
для функций (8)
и (9) совпадают.
Условие (6) для
набора 
дает следующие выражения
,
(10)
В
полученных выражениях (10) 
и 
не являются параметрами, т.е. выражения
(10) не задают двухпараметрическое семейство решений. Выражения (10)
не только не задают «семейства» решений, а сами пока еще (при
произвольных и ) не
являются решениями задачи условного экстремума.
Множители Лагранжа должны быть найдены из условий (7) (которые
совпадают с уравнениями связи (2) и (3)).
Подстановка в (2) и (3) найденных выражений (10) дает систему уравнений
(11)
для
нахождения неизвестных множителей Лагранжа
.
Система уравнений (11)
нелинейная. Решение 
системы (11) зависит от числа городов и численности
населения. Таким образом, решением экстремальной задачи для функции
Лагранжа (9) являются не выражения (10), а выражения
, ,
(12)
где 
и 
- решение системы (11),
Из (11), в частности, следует связь
(13)
между числом городов, числом жителейи множителем . Решив уравнение (13), находим . Второй множитель однозначно определяется
из первого уравнения (11) –условия нормировки, которое дает 
.
Зафиксируем
пару
. Покажем, что решение системы
(11) и единственно. Рассмотрим эквивалентное
уравнение (13). Введем функцию 
Покажем, что
функция
монотонно убывает. Найдем производную
.
(14)
Знаменатель
выражения (14) положителен, а числитель отрицателен при любых . Положительность знаменателя очевидна. Покажем, что числитель
отрицателен.
В 
мерном пространстве 
определим скалярное
произведение с весами 
, 
как
,
(15).
где 
, 
.
Воспользуемся
неравенством Коши-Буняковского 
. Равенство достигается тогда и только тогда,
когда вектора параллельны (
, 
). Для векторов 
и 
имеем
, 
,
.
Так как вектора 
и 
не параллельны, то неравенство
Коши-
Буняковского дает
.
Откуда
следует, что числитель отрицателен, т.е. 
. Таким образоммонотонно убывает и с прямой 
. имеет единственное пересечение и уравнение 
однозначно разрешимо для любого
числа 
. Иначе говоря, для любой фиксированной
пары система уравнений (11) имеет
единственное решение , .
Множество решений (12)
для всех пар на вещественной прямой определяют
дискретное конечное множество 
изолированных точек. Величина 
является одной из этих величин
, а не точкой насыщения некоторого бесконечного множества.
Поэтому процедура «предельный переход, а→0» (когда
«это распределение переходит в чисто гиперболическое»), который осуществляется
в [7], не имеет математического смысла.
Таким образом :
1. двухпараметрическое семейство функций (10) содержит дискретное конечное
«семейство»
решений (12), в состав которого входит обычный закон Парето ().
Не каждое число семейства функций (10) является решением ТК (12). Если
конечное «семейство» решений (12) удалить из семейства функций (10), то
останутся некоторые мифические функции, не интерпретируемые в рамках ТК. Если
теперь 
, заставляя эти мифические функции стремится к закону
Парето, то в чем смысл этого предельного перехода, который авторы
интерпретируют как некий новый "закон больших чисел".?
2.
Можно с таким же успехом
умножить 
на однопараметрическое
семейство
произвольных функций таких, что 
и назвать этот предельный переход "законом
больших чисел" (как в [7], [9]). Поэтому процедура «предельный
переход, а→0» (когда «это распределение переходит в чисто
гиперболическое»), который осуществляется в [7], не имеет физического
смысла. А утверждение авторов «предложена теория конкуренции, приводящая
к формуле, которую также можно назвать "законом больших чисел"» не
обосновано.
3.
Согласно ТК, если задана
пара чисел , то решив систему уравнений (11)
можно найти поправку
к закону Парето для любой
предметной области . Так ли это? И где эти сравнения?
4.
А как быть с чистым
Парето, когда ? Согласно ТК действительно
обычный закон
Парето 
может быть получен из «семейства » (10) при
подстановке . Согласно ТК закон Парето справедлив только в том
случае, если пара чисел 
удовлетворяет системе уравнений (11) или – эквивалентному уравнению (13).
Подстановка в (13) дает 
. Т.е. согласно ТК обычный
закон Парето справедлив, только если 
. Действительно ли это так?
Рассмотрим пример. Для России число жителей, проживающих в 
городах с населением
свыше 64 тыс. жителей, равно 
и
показатель Парето равен 2. Величина 
. Однако, величина 
. Равна ли она 
?
Цитируемая литература
1. Трубников Б. А., Румынский И. А. Закон Ципфа-Крылова для слов и возможность его “эволюционной ” интерпретации // ДАН СССР, 1991, т. 321, № 2, с. 270.
2. Трубникова О. Б., Куснер Ю. А, Трубников Б. А. Закон распределения хищников// Наука и Жизнь. 1992. № 7. С. 116.
3. Трубников Б. А. Закон распределения конкурентов// Природа. 1993. № 11. С. 3–13.
4. Бялко А. В. Конструктивность закона конкуренции// Природа. 1993. № 11. С. 14–19.
5. Трубников Б. А. О законе распределения конкурентов// Природа. 1995. № 11. С. 48–50.
6. Трубников Б. А. Закон распределения конкурентов/ В кн. Математическое описание ценозов и закономерности технетики. Философия и становление технетики. Вып. 1. Доклады Первой Междунар. конф. (Новомосковск Тульской обл., 24–26 января 1996 г.) и вып. 2. Философия и становление технетики. Автореф. дисс. на соиск. уч. ст. докт. филос. наук. "Ценологические исследования". Абакан: Центр системных исследований, 1996. 452 с.
7. Трубников Б. А.,
Трубникова О. Б. Пять великих распределений вероятностей// Природа. 2004. № 11. С. 13–20.
8.
Trubnikova O. B.,
Trubnikov B. A. Theory of competition/ in book of abstracts 13 General
conference of the Europ Physical Sos. EPS-13 "Beyond Einstein – Physics of
21 Centure", 2005, July 11–15, Bern, Swizerland, oral report BR6-4-THU
page 119.
9. А.В. Бялко, Б.А. Трубников, О.Б. Трубникова, Эмпирический "закон Парето–Ципфа–Кудрина" и общая теория конкуренции//Общая и прикладная ценология. – 2007. – № 4.– С. 20-24.
10. Б.А. Трубников, О.Б. Трубникова, «Семь великих распределений вероятностей» // Электрика. – 2008. – № 2.– С. 45-47.
11. Крылов Ю.К. // Ученые записки Тартуского госуниверситета. – 1987. – вып.774.– С. 81-102.-
12. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров).- М.: Наука, 1973. – 832С.
.