МОДЕЛИРОВАНИЕ СТРУКТУРЫ УСТАНОВЛЕННОГО ЭЛЕКТРООБОРУДОВАНИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ

Кудрин Б.И., Якимов А.Е., Фуфаев В.В.

// Сб. науч. Труд № 125. М.: Моск. Энерг. Ин-т, 1987.  С. 24-29.

 

Поток разнообразного электрооборудования (ЭО), поступающего на промышленное предприятие, формируется под действием двух альтернативных тенденций. Практически можно считать, что условия эксплуатации и производственные функции любой пары изделий родственного ЭО, установленного на промышленном предприятии, всегда имеют различия. Это способствует увеличению разнообразия типоразмеров ЭО.

Желание эксплуатационных и ремонтных служб иметь однородное ЭО снижает разнообразие типоразмеров. Эти тенденции выражаются в двух явлениях: «рассеяния» семейства ЭО по разным типоразмерам и противоположного ему явления «концентрации» в одном типоразмере. Между этими двумя альтернативными формами существуют переходные, все вместе которые образуют Н-распределение [1], характерное для электрических ценозов.

Эмпирические Н-распределения (распределения установленного ЭО на промышленном предприятии; выборки его, попадающие в электроремонтное производство) в большей или меньшей степени страдают недостаточной достоверностью, определяющейся качеством учета типоразмеров, малочисленны. Для исследования механизма образования Н-распределения было предложено [2] каноническое разложение целого положительного числа a=n! на простые сомножители

,

(1)

где pk-1<pk – простые числа; p1=2, p2=3, …, . Всего видов простых чисел s=p(n), ps – наибольшее простое число. Показатели степени  определяют число простых сомножителей pk  разложения чисел натурального ряда от 2 до n. Распределение  есть ранговое распределение  – ранг числа . Видовая форма распределения  удовлетворяет аксиомам Н-распределения [1]. Каноническое разложение (1) доступно любому исследователю как инструмент для изучения свойств Н-распределения, поскольку его объектами являются простые сомножители. Используем его для оптимизации соотношения между количеством установленного ЭО на промышленном предприятии и количеством его типоразмеров.

         Размер системного пространства для канонического разложения (1) определяется как , объем этажа строго равен общему количеству чисел натурального ряда, подлежащих разбиению на простые сомножители. Огибающая распределения для  неоднородных каст описывается зависимостью для непрерывного аналога

(2)

где  - численность популяции; для  однородных каст

(3)

где  - объем элемента однородной касты.

Для канонического разложения (1) дискретный аналог аргумента  x  j=pk – 1, где  - простые числа. Доказана теорема о степени заполнения объема этажа, заселенного элементами  однородной касты (существует количественный критерий оценивания величины (3) при переходе к дискретным значениям). Аксиома 4 из [1] определяет огибающую распределения видов (2). Рассмотрим переход от огибающей распределения собственно к распределению. Представим его в виде непрерывного аналога.

(4)

где , .

Все эмпирические  распределения дискретны. В каноническом разложении по одному разу встречаются сомножители pk, удовлетворяющие неравенству , их всего ; по два , их всего ; встречаются i раз сомножители , . Распределение W(i) – дискретный аналог распределения (4). Дискретный и непрерывный аналоги можно связать отношением

 ,

(5)

где i=N(j) – численность популяции; j – целочисленные значения; N(1) – численность самой многочисленной популяции; j – ранговый номер вида. Нижний предел интегрирования в (5) корректней выбрать по Z(x) из (3), где i=N(j)=[Z(j)] – целая часть числа Z(j); j – площадь под кривой . Параметр  определяет «местоположение» популяции на оси абсцисс (значение N(j)). Если , то N(j)=Z(j), в общем случае для аргумента х функции Z(x) можно записать , где j=[x] – целая часть числа х.

,

(6)

Что позволяет получить зависимость , где , . Принимается площадь равной , значение i=1,5 можно найти из приближенного равенства этой площади и площади трапеции с высотой, равной 1, и средней линией трапеции длиной W(1). На самом деле  выпукла вниз и по данным таблицы i=1,42 (из равенства ). В таблице: u – число элементов системы; u/s – повторяемость вида (средняя численность популяции). Значения ρ, min ρ, max ρ, α,  даны в тысячных долях.

Таким образом, (4) связывает численность однородных и неоднородных каст, в то время как огибающие (2) и (3) у них отличны друг от друга.

Модель (2) двухпараметрическая. В (4) приведено три параметра. Получим теоретическую зависимость  α=α(R,ρ). По данным таблицы, примерное эмпирическое равенство α≈W(1)/s выполняется в большом динамическом диапазоне изменения R. Показатель степени ρ  отличается устойчивостью, в таблице приведены его значения наряду с оценками min ρ и max  ρ, получаемыми из (5) путем перебора значений i=N(j) для , где k – последний номер в сквозной нумерации каст.

Таким образом, аксиомы Н-распределения дают различающиеся зависимости (2) и (3) для огибающей распределения. Собственно Н-распределение (4) в записи  применимо для всей области существования . Для двухпараметрического описания  необходимо теоретически определить зависимость . Эмпирические оценки параметров  и ρ получены для канонического разложения и приведены в таблице.

Для оптимизации соотношения между количеством установленного ЭО и количеством его типоразмеров в таблице приведены обобщающие характеристики Н-распределения, генерируемого из канонического разложения (1).

Модель распределения простых сомножителей в разложении чисел натурального ряда может быть использована для оценки оптимальности построения структуры множества установленного ЭО с точки зрения затрат на электроремонт. Примем в качестве рабочей гипотезы, что каноническое разложение порождает оптимальное Н-распределение.

Суммарная трудоемкость электроремонта, например, электрических двигателей, зависит от структуры:

,     

(7)

где Тср – трудоемкость обслуживания электрического двигателя средней мощности с учетом процентного содержания электрических двигателей различной категории сложности,; β – коэффициент, характеризующий интенсивность технологического процесса ремонта, т.е. характеризующий снижение трудоемкости каждого ремонтируемого последующего одинакового электрического двигателя. Экспертно определено, что для электроремонтных цехов промышленных предприятий .

На основе обобщенных характеристик Н-распределения канонического разложения (таблица) может быть построена для заданного числа элементов ценоза u оптимальная структура любого эмпирического распределения ремонтируемого и установленного ЭО и оценена суммарная трудоемкость обслуживания . Разность  даст трудоемкость виртуальной касты, которая и определяет отклонение от оптимальной трудоемкости обслуживания элементов ценоза. Изменяя структуру и соответственно , можно получить количественную оценку эффекта от мероприятий по унификации установленного ЭО (номограммы для расчетов) [3].

Распределение простых сомножителей в разложении числа n! Позволяет применить модель для сравнения двух ценозов различного объема по отклонению от оптимальной структуры в смысле эффективности электроремонта. По (7) рассчитывается суммарная трудоемкость обслуживания элементов структуры первого ценоза по u1 и n1 определяется его канонический аналог Н-распределения и оценивается относительная трудоемкость обслуживания (электроремонта) виртуальной касты , где n1 из (1) – последнее число натурального ряда. То же делается для второго ценоза. Уменьшение относительной трудоемкости виртуальной касты ведет к снижению затрат на электроремонт, повышению производительности труда электроремонтного персонала. Последнее определяется резервом, скрытым в структуре множества установленного ЭО.

 

Обобщающие характеристики Н-распределения канонического разложения

 

Число n

R

s

u

W(1)

N(1)

k

ρ

min ρ

max ρ

α

W0

W1/s

u/s

101

10

26

240

11

97

11

793

723

863

301

22

423

9,2

401

20

79

1086

33

397

21

780

743

846

372

40

418

13,7

901

30

154

2578

67

896

31

823

757

842

422

129

435

16,7

1601

40

252

4728

113

1597

39

858

766

858

457

212

448

18,8

2501

50

367

7551

163

2495

47

847

771

850

466

309

444

20,6

3601

60

503

11054

225

3596

57

855

776

857

481

424

447

22,0

4901

70

654

15247

291

4895

63

849

778

856

487

551

445

23,3

6401

80

834

20127

382

6397

70

883

783

883

506

705

458

24,1

8101

90

1019

25705

461

8092

82

868

785

868

508

862

452

25,2

10001

100

1229

31987

560

9995

87

877

787

877

516

1040

456

26,0

12101

110

1448

38970

659

12093

97

875

789

875

520

1226

455

26,9

14401

120

1687

46666

768

14396

105

876

791

876

542

1430

455

27,7

16901

130

1949

55070

862

16897

113

882

792

882

530

1654

458

28,3

19601

140

2223

64177

1015

19595

121

879

794

882

533

1887

457

28,9

22501

150

2516

74008

1157

22491

128

888

796

888

593

2138

460

29,4

25601

160

2819

84556

1293

25597

140

885

797

887

541

2396

459

30,0

28901

170

3146

95818

1451

28893

144

892

798

892

546

2677

461

30,5

32401

180

3477

107805

1594

32392

154

884

799

886

546

2958

458

31,0

36101

190

3834

120515

1765

36095

160

889

800

891

550

3266

460

31,4

40001

200

4203

133947

1941

39995

167

893

801

893

553

3580

462

31,9

 

Литература

 

1. Кудрин Б.И. Якимов А.Е. Моделирование структуры множества изделий образующих электрические ценозы // Межвуз. сб. тр. №37. М.: Моск. энерг. Ин-т. 1984. С. 34-39.

2. Кудрин Б.И. Якимов А.Е. Моделирование структуры ценозов арифметическими рядами // Экспериментальные исследования структуры и функции биологических систем. Докл. Моск. Об-ва испытателей природы. 1983. Общая биология. М.: Наука. 1985. С.47-49.

3. Фуфаев В.В. Оптимизация структуры проектируемого и эксплуатируемого электрооборудования  // Сб. науч. тр. №90. М.: Моск. энерг. ин-т. 1986. с.31-40.