МАТЕМАТИКА ЦЕНОЗОВ:

ВИДОВОЕ, РАНГОВИДОВОЕ, РАНГОВОЕ ПО ПАРАМЕТРУ

ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ  Н-РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

И ЗАКОНЫ ЛОТКИ, ЦИПФА, ПАРЕТО, МАНДЕЛЬБРОТА

Б.И.Кудрин

Я утверждаю, что любая

из естественных наук содержит в себе

ровно столько науки в собственном смысле слова,

сколько она содержит математики.

И.Кант

Наука только тогда достигает совершенства,

когда ей удаётся пользоваться математикой

К.Маркс

Математика Пифагора, Евклида, Архимеда с веками привела к техногенному миру. Создание абсолютной системы единиц (К.Гаусс, 1832), подписание Метрической конвенции (1875), принятие системы электрических единиц (1881) дали метрологическую основу индустрии, где техническое (изделие) – техника, технология, материал – с неизбежностью порождает продукты и отходы. Крупномасштабное внедрение техники дало основу индустрии, что привело предприятия к их современному виду, где количество единиц технического практически бесконечно и где технологический детерминизм индустриального общества вытесняется некаузальностью информационных технологий и сферой услуг. Информационное (постиндустриальное) общество определяется самоорганизацией изделий, что идентифицируется как образование ими своеобразных сообществ – технических ценозов.

Устойчивость общественного развития, эффективность производства, приемлемость быта оцениваются ценологическими ограничениями. Сами ценологические свойства цехов (предприятий) и городов (квартир) стали проявляться в нашей стране в 50-е годы и были мною замечены в 70-е. Глобализация делает необходимым использование ценологических представлений при принятии решений на всех уровнях иерархии действительности и для всех видов человеческой деятельности. Речь идёт прежде всего об онтологии технического (технетического) как такового в ряду физических и биологических ценозов (породивших техническое), с одной стороны, а с другой – информационных и социальных, порождённых техногенным. Исследование технетического предполагает адекватный математический аппарат для выделенной целостности – технического ценоза и для каждого из фрагментов созданного человеком материального и идеального миров. Но прежде гносеологически решается вопрос об основаниях научной картины мира, о границах классических (физических), вероятностно-статистических и ценологических (технетических) представлений.

Основу моих исследований, ведущихся с 1971 г. [1] и концептуально завершённых в области электрики к 1976 г. [2], философии – к 1996 г. [3,4], составил опыт проектирования и строительства крупных заводов и их хозяйств, цехов; отдельных комплексов, зданий, сооружений, сетей [5,6]. Практика индустриализации 50-60-х годов обозначила две проблемы: 1) необходимость представления объекта в целом для определения ресурсов сейчас и на перспективу; 2) детализацию заказываемого, устанавливаемого, ремонтируемого до строчки в спецификации (наименование, количество).

Описания электрической части цехов, производств, заводов как самодостаточных объектов системой основных и вспомогательных показателей, позволяющих осуществлять проектирование, оценивать построенное, прогнозировать эволюцию, содержались в моих статьях [1]: О системном подходе к электрификации промышленных предприятий (соавт. Кутявин И.Д., Борисов Р.И.); О корреляционной связи основных технологических и электрических показателей металлургического завода (соавт. Крупенин Б.Ф., Соболев В.В.); К вопросу о математической интерпретации определяющих критериев при проектировании электроремонтных цехов; Стоимостные показатели элементов системы электроснабжения крупного металлургического завода (соавт. Ульзитуев О.В., Антонов И.Ф.); О некоторых технико-экономических показателях электрической части металлургического завода с нагрузкой 450–500 МВт (соавт. Антонов И.Ф., Ульзитуев О.В.). Это направление, идентифицируемое сейчас как технический анализ, в значительной степени завершено работами [7,8]. Выполнение предпроектных стадий [6], нормирование, энергосбережение актуализируют это направление, перемещая его от корреляционно-регрессивного анализа к кластеризации, нейронным сетям; к учёту, основанному на часовых и суточных интервалах.

Детализация же заключалась в изучении структуры потребления ресурсов и установленного (ремонтируемого) оборудования цехов, производств, заводов, отраслей по повторяемости видов изделий. Постановка проблемы и предложения были сформулированы в статьях [1]: О составе и технологической схеме электроремонтного цеха крупного металлургического завода; О построении схемы массового обслуживания применительно к электроремонтному цеху металлургического завода; О законе распределения типоразмеров ремонтируемых электродвигателей (соавт. Лизогуб П.П., Шулепов Н.В.). «Детализация» получила определённое научное завершение в монографиях [9–12], практическое – в проектах электроремонтных цехов и служб, в управлении электропотреблением в чёрной металлургии, в отраслевых нормах [13–16].

Крупнейшим из реализованных моих проектов является блок «Электроремонт» на Оскольском электрометаллургическом комбинате [17,18] в составе: электроремонтного цеха, 16700 м²; цеха сетей и подстанций 580 м² (управление); трансформаторно-масляного хозяйства, 1730 м²; центральной электротехнической лаборатории, 1440 м²; цеха оперативного электроремонта, 2300 м². Площадка блока «Электроремонт» – 34700 м², в том числе площадь собственно блока – 24300 м². Блок – крупнейший в мире среди объектов такого назначения.

Что касается Запсиба, то обсуждение необходимости строительства электроремонтного цеха [1] привело к решению о начале проектирования (1971) по исходным данным завода (обработка [19]: отремонтированные за год 4228 двигателей оказались 631 типоразмера, по одному – 245), пущенного, после многих задержек строительства и проектных перепланировок, лишь в декабре 2001 г. и ставшего крупнейшим в России. Теоретическое осмысление результатов [20,21] дало основание строительству электроремонтных объектов по стране, разработке норм, информационному банку [2,8], где количество установленных электродвигателей и их средняя мощность характеризовали необходимость электроремонта.

Всё изложенное и составило мою научную школу. В области электричества это электрика [22] – со своей статистической базой по электропотреблению [8] и электрооборудованию [23], в общенаучной – технетика [3,9,10], основным объектом изучения которых являются сообщества слабо связанных и слабозависимых изделий – техноценозы, а методологической основой – ценологические исследования. Направление поддерживается ежемесячным журналом «Электрика», продолжающимся изданием «Электрификация металлургических предприятий Сибири», серией «Ценологические исследования». Обнаруженные закономерности и практику их применения в ряде вузов читают как отдельные курсы [24] или включены в уже существующие.

Определённая завершённость ценологической теории, находящейся в русле бурно развивающихся представлений о диссипативных системах, синергетике, фрактальности, нелинейности, неравновесности, самоорганизации, алеатике, бифуркациях, странных аттракторах, глобальном эволюционизме, хаосе, гиперболических распределениях и негауссовых бесконечно делимых распределениях (из последних [25–28]), делает для меня обязательным подведение теоретических итогов. Это тем более необходимо, что сотни учёных в тысячах ценологических публикаций используют различающиеся понятия и обозначения, затрудняя сравнение и задерживая практическое использование. И хотя сама теория запрещает единообразие [29], тем не менее именно саранчёвая каста, если её организовать, даст максимальную практическую (хотя и не  столь продолжительную) отдачу.

Само появление терминов Н-распределение, Н-оценка, Н-представление, Н-метод, Н-модели, Н-параметры связано с геометрической формой кривой – результатом статистической обработки [2,4,8,19,20,23]. Распределению, замеченному в 1971 г. [1] на примере повторяемости электрических машин, в 1973 г. впервые в мире в области техники, дано объяснение, опирающееся на логарифмический ряд Р.Фишера [30] и сравниваемое с работами S.Garthside, A.S.Corbet, G.A.Waterhouse, Da Costo Lima, C.R.Нathaway, цитируемым по К.Б.Вильямсу [31].

На основании собственного исследования (по карточкам-паспортам) 27632 штук электродвигателей (unus), оказавшихся 5618 типоразмеров (species) при средней повторяемости u/s=4,92, был сделан вывод об устойчивости явления разнообразия, рассмотрена модель простых чисел, высказана гипотеза [32]: «Изменения ведут к разнообразию, к расхождению признаков, к появлению новых видов, всё дальше отстоящих от своих предков. Изменения закрепляются, можно сказать, «наследуются в потомстве» (патентах, описаниях, чертежах и др.). Основным фактором эволюции материального мира, его движущей силой является информационный отбор. Описанный Ч.Дарвином естественный отбор можно рассматривать как частный случай информационного отбора, осуществляемого природой» (с.37).

Ставя задачу теоретического рассмотрения Н-распределения, отметим статистическую подтверждённость теории техноценозов. Если говорить только о материалах, непосредственно мною собранных или контролируемых, это: для видового и ранговидового – 1000 выборок и генеральных совокупностей, охватывающих свыше 2,5 млн единиц различного оборудования (техники); для рангового по параметру – 800 (независимые исследователи уже удвоили то и другое). Возможность Н-оценки проверена для большинства отраслей экономики и ряда регионов, для самого различного оборудования, машин, приборов, агрегатов, комплектующих, сооружений, единиц поставки материалов и лекарств.

Ключевым для начала ценологического исследования любой реальности и вида деятельности являются одномоментные, одно без другого не мыслимые определения (выделения): 1) собственно ценоза; 2) семейства далее не делимых элементарных единиц-особей; 3) понятие (технического) вида. Все три мыслительных действия концептуальны. Практическая реализация ставит вопрос о единообразии и однозначности понятий, определений, терминов. Лишь это, а также стандартность математических процедур, позволит сравнивать результаты в области технических наук с результатами, полученными, например в РАН Отделением физических наук и Отделением химии и наук о материалах, Отделением биологических наук (к сожалению, для технического такое отделение, о чём периодически говорят, отсутствует), Отделением информационных технологий и вычислительных систем, Отделением общественных наук.

Начнём с некоторого синонимического примера элементарного, понимая под этим неделимость, восходящую к Демокриту: элемент – единица – штука – особь – индивид – индивидуальность. Налицо некоторое смысловое изменение значения элементарное в сторону большей содержательности: элемент-то элемент, но не совсем элементарен – есть ещё свойства, которые следует учитывать. Конкретизируем элемент для технического при ценологических исследованиях: гвоздь, болт, крыльчатка, подшипник, вал, двигатель, редуктор, агрегат, кран, …, рабочая клеть, прокатный стан, прокатный цех, прокатное производство, прокатный завод, прокат страны, мировое производство проката. Изложенное не есть, вообще говоря, ряд или спектр уровней организации в смысле Ю.Одума [33]: гены – клетки – организмы – популяции – сообщества. Здесь что-то другое, гносеологически связанное с понятиями различать и выделять.

Различать – значит уметь отличать, распознавать, находить и указывать признаки разницы (разный, различный, иной, другой, не один и тот же, неодинаковый, несходный, отличный от другого). Можно утверждать, что различие есть необходимый момент всякой материальной сущности, выделенной дискретно и единично. Соотнося различие антропным масштабам и обозначив элементарную единицу техногенного из приведённого «ряда» как особь, можно утверждать, что не всё различимо и не всё нужно различать.

Одна элементарная (устойчивая) частица от другой с таким же названием – неотличима, как и меж собой атомы, молекулы, химические соединения (по крайней мере неорганические). Конечно, каждая частица как физическая система различна по положению в пространстве и энергетическим характеристикам. Но оказывается, не существует таких состояний физической системы, в которых две динамические переменные имеют вполне определённые значения, если эти переменные канонически сопряжены друг с другом в духе гамильтонова формализма. В пределе, когда, например, значение координат центра инерции системы определено точно, неопределённость значения координат компонента импульса достигает бесконечности. Принцип неопределённости В.Гейзенберга (1927) накладывает запрет на возможность сравнения двух частиц (не говоря уже о последствиях для частицы самого факта измерения).

Не будем обсуждать возможность сравнения и различения индивидов на уровне вирусов, микроорганизмов (микробов), простейших (одноклеточных эукариотных организмов), включая цианобактерии; обратимся к техническому: технике, технологии, материалам, продукции, отходам (что собственно я и заменяю одним термином – технетика). Выделим из техники простейшие изделия (метизы, подшипники, валы и пр.), которые характеризуются совокупностью следующих признаков: отсутствием количественных показателей, характеризующих технический уровень данного вида продукции; отсутствием привода и сопрягаемых линейных и угловых размеров, определяющих работоспособность изделия; при этом возможные отклонения физических или химических свойств не могут повлиять на работоспособность изделия, в составе которого применяется данное простейшее изделие; технологический процесс изготовления включает простейшие технологические операции. Отличия по любому из параметров простейшего изделия – гауссовы. Для дальнейшего важно: 1) простейшие – неразличимы; 2) они не обладают технетическими свойствами, т.е. не могут образовать техноценоз (аналогично куче песка, где песчинки неотличимы, а количество их использовалось Архимедом в рассуждениях о числах и размерах Вселенной).

Итак, я выделяю особь (если её можно выделить и рассмотреть при исследовании как элементарный объект, идентифицируя её, по крайней мере теоретически, паспортом, номером и др.) и каждую отношу к тому или иному виду. Так можно рассматривать, например, различные виды минералов (mineral species), понимая, что в данном случае особь (uÎU; unus) – каким-то образом выделенный образец.

Если вспомнить, что вид – основная структурная единица систематики, то встаёт вопрос и о других таксонах. Для технического (для технетики) не выстроена возможность и не доказана обязательность следующих таксонов, так или иначе определяемых в каждой из технических наук: вид, род, семейство, отряд или порядок, класс, тип или отдел, царство. Например, видовой перечень объектов, входящих в подсистему САПР-Прокат [6,табл.1.11] объединяет все станы как виды в шесть родов, образующих семейство «прокатные станы» (тогда род «специальные станы» включает виды: рессорные, колесо-, бандаже-, кольце-, шаро-, деталепрокатные, профилегибочные и винтовой прокатки). Пока же наиболее полная попытка общей систематики материалов, машин, изделий и технологий [34] устанавливает для множества процессов и материальных объектов (функционалов сферы материального производства) таксоны: вид – класс – тип – надтип – метатип – архетип. Почему, если мир един (а единство законов мироустройства едва ли может быть оспорено), надо вводить иную, труднее воспринимаемую иерархию (тем более что первый таксон – вид, и общее количество ступеней в биологии и технетике одинаково)?

Если же обратиться к основному объекту наших исследований – электрической машине (электродвигателю), то это есть семейство наиболее массово распространённой техники (машин, оборудования: в иномарке – свыше 30 электродвигателей). Видом назовём численную (величину номинальной мощности, кВт) и качественную (наименование – асинхронный с короткозамкнутым ротором, залитым алюминием, единой серии электрический двигатель в брызгозащищённом – А или закрытом обдуваемом – АО – исполнении) характеристики машины. Пример из 1971 г. [1] - вид 28А: двигатели А71-2, А72-4, А81-6, А82-8 отнесены к этому виду, хотя и различаются габаритом, сердечником, числом пар полюсов обмотки статора, но имеют одно наименование – А, одну мощность – 28 кВт. Усложнение наименования (обозначения), происходившее непрерывно последние 50 лет, не меняет существа, заключающегося в 1) оперировании этим понятием всеми технариями и 2) трансформации понятия при изменении цели исследования и потребностей практики (данное определение использовалось мною при определении численности электротехнического персонала предприятий чёрной металлургии [2,14,16–20], научной школой технетики – при ценологических структурных исследованиях [11,12,23]).

Это была абстрактная постановка. Фактически же соответствующие, проведённые современными методами исследования определяют, где простейшее изделие сделано, где получены, например, расщепляющиеся материалы или добыто минеральное сырьё. Оказалось, что географическое различие по составу воды настолько велико, что по костному составу можно определить, где человек родился и вырос. Поэтому, говоря, что не всегда возможно и нужно различать отдельное (единичное), сделаем квалификационный шаг и введём понятие «технический вид» (памятуя Аристотеля: «Если достичь знания вещей, это значит достичь знания видов»).

 

        Таблица 2

Видовое распределение численности популяций по кастам

k	ai	wi	aiwi	wi	Перечень видов
1	1	11	11	0,476	0,32ПН; 0,9АОЛ1,7ДТ; 3,5МТК; 17П; 22А; 30КО; 50АО; 160АК; 320А; 6800СДН
2	2	4	8	0,167	2,2МТК; 16МТВ; 75МА; 900СДЗ
3	3	2	6	0,083	0,6АОЛ; 14ТГ
4	4	1	4	0,042	7,4ДМЗД
5	5	2	10	0,083	ПА22; 4МТВ
6	7	1	7	0,042	7АО
7	9	1	9	0,042	1,7АО
8	16	1	16	0,042	4,5АР
9	24	1	21	0,042	28А

 

Таблица 4

Ранговидовое распределение электродвигателей-особей по повторяемости 

r	Ur	Sr
1	24	28А2
2	16	4,5АР
3	9	1,7АО
4	7	7АО
5	5	ПА22
6	5	4МТВ
7	4	7,4ДМЗД
8	3	0,6АОЛ
9	3	14ТГ
10	2	2,2МТК
11	2	16МТВ
12	2	75МА
13	2	900СДЗ
14	1	0,32ПН
15	1	0,9АОЛ
16	1	1,7ДТ
17	1	3,5МТК
18	1	17П
19	1	22А
20	1	30КО
21	1	50АО
22	1	160АК
23	1	320А
24	1	6300СДН
Всего:	95	24

 

                         Таблица 5

Ранговое и видовое распределение

 

Технический вид – основное понятие классификации, служащее для выражения отношений между техническими классами при разбиении их на семейства и роды. Вид изделия – структурная единица в систематике изделий: изделия двух разных видов отличаются количественной и обязательно качественной характеристиками; изделия одного вида изготавливают по одной проектно-конструкторской документации. К общим признакам вида относятся: определённая численность, тип организации, способность в процессе работы и воспроизводства сохранять качественную определённость, дискретность, экологическая, экономическая и географическая определённость, устойчивость, целостность (не различают в отдельных случаях вид и понятия: наименование, название, типоразмер, проба, модель, сортамент, марка, артикул, выпуск, тип, профиль).

Пока не создан классификатор техногенного мира, удовлетворяющий технической науке и практике – глобальностью, стабильностью, удобством пользования, ясностью и однозначностью, не допускающей техническое и юридическое разночтений. Наиболее показательны: неудача – УДК (универсальной десятичной классификации), которая, несмотря на громадные средства на её создание и усилия по поддержанию, медленно отмирает; трудности, испытываемые уже в XXI веке таможенной градацией ввозимого и способствующие криминалу, или нестыковки рубрикатора промышленной продукции при соотнесении его с проспектами инофирм разных стран. Поэтому введение понятия «технический вид» необходимо, чтобы специалисты, принимающие участие в управлении производством, в разработке и осуществлении экономической политики организации или государства, чётко представляли, что имеется в виду: особь («Курск») или вид, когда говорят о стратегии – выпуске, например, подлодок. Проектируется, заказывается – вид, а поставляется, устанавливается, функционирует и обслуживается, утилизируется – конкретная особь – выделяемый элемент ценоза, штука, экземпляр; индивид, индивидуум – неделимая единица технического. На основе мнения об особи (плохо–хорошо) рождается оценка вида, доходящая до глобальной постановки. Понятие технического вида требует обобщения понятия «изделие», заключающегося в распространении его на все составляющие технетики. Так, уместны и отражают сущность следующие выражения: вид техники, вид технологии, вид материала, вид продукции, вид отходов.

Что касается выделения ценоза, то операция осуществима и имеет смысл, как отмечалось, только в увязке с идентификацией особи и введением родо-видовой классификации для исследуемого семейства изделий. Два примера.

1. Электродвигатели, питающиеся от единого шкафа низкого напряжения, ценоз не образуют: во-первых, количество их невелико (отходящих линий обычно 5–8, иногда до 16, по освещению – до 30 групп); во-вторых, главное, что режимы их работы корреляционно значимо связаны (а то и жёстким детерминизмом). Но если говорить о втором уровне системы электроснабжения 2УР [35] в целом (что технологически может быть соотнесено участку [6]): ценологические свойства начинают проявляться на этом  множестве двигателей. Далее они проявляются всегда: 3УР – отделение, 4УР – цех, 5УР – производство, 6УР – завод в целом. Здесь связи и зависимости для подавляющего большинства пар двигателей (не говоря уже о более длинных цепочках) статистически не значимы. Но они есть – повязаны внешними физическими и биологическими условиями, информационным и социальным сопровождением, например, системой технического обслуживания и ремонта. Часть электродвигателей города (не Москвы!) или региона, самоорганизуясь, образует ценоз. Но электродвигатели России в целом не образуют ценоз, так как подавляющее большинство из них друг с другом никоим образом не связано, друг о друге «не знает».

2. Прокатные станы (или коксовые, доменные, сталеплавильные печи) одного металлургического предприятия образуют не ценоз, а систему, тесно увязанную планами, поставками, сырьём. Но в целом станы страны образуют ценоз: в 1978 г. 360 станов было 149-ти видов (сейчас самодостаточностью по прокату, что есть следствие ценологических свойств, характеризуются только Россия и Украина). Рассматривая по параметру «годовой выпуск проката» РФ как государство-особь, производящую прокат, можно рассматривать все производящие прокат страны мира как ценоз (пошлины, введённые США и Китаем, наглядно показали наличие связей и их нежёсткость).

Необходимость постановки триединой задачи выделения (особь-вид-ценоз) связана с вопросом (оценкой) количества особей, образующих ценоз. Если вернуться к песку, то ни его куча, ни пляж, ни мириады Архимеда не образуют ценоз, несмотря на практическую бесконечность числа песчинок (я говорю о практически счётном множестве, т.е. множестве, равномощном множеству натуральных чисел: мы не можем пересчитать песчинки на практике, но уверены, что можем их перенумеровать – создать собственное счисление). Тогда проблема сводится к задаче определения количества видов, достаточных для предположения о наличии ценологических свойств у выделенной целостности, точнее, количества видов, образующих устойчивый ценоз. Появляется необходимость говорить о видовом многообразии.

Ю.Чайковский, цитируя Спенсера: «однородное неустойчиво», – напоминает, что согласно канонам экологии, число звеньев трофической цепи обычно не превышает шести (что легко проверяется по Одуму [33,с.91,107]), и пишет [36,с.131]: «…тезис Спенсера … ясно говорит, что для устойчивости нужна некоторая неоднородность, но никак не безграничный рост разнообразия … обычно пять слоёв регуляции достаточны … для симметризации регулируемых и регуляторов, а вместе с тем и для стабилизации». Если 7 – длина цепи и 5 – слои регуляции, то 7·5=35 видов с избытком достаточно для стабилизации любой экосистемы. Учтя неравномерность распределения разнообразия видов по трофической цепи, Чайковский ожидает, что «для стабильности достаточно 100 видов, что большее обилие ничего не добавит. … Мейен высказал в 1978 г. (на семинаре в МОИП) догадку, что разнообразие системы выше некоторого – необходимое условие для ее эволюции, а вовсе не для стабильности».

Вернемся к техническому, для проектировщиков которого мною сформулировано правило: «Пять и ты посередине» [6]. Оно означает, что во всех случаях для принятия эффективного решения необходимо владеть максимально полной информацией, соответствующей двум уровням вверх и двум - вниз по иерархии (пять слоёв регуляции). Так, принимая решения по цеху, следует оценить последствия для данного производства и завода в целом, и (одновременно!) для отделения, участка. Ещё более чётко объективировалось это положение в шести уровнях системы, с необходимостью выделенных мною [37] при разработке электрической части развития отрасли (генсхема чёрной металлургии) на 5, 10, 20 лет, включая определение объёмов электропотребления, показателей электроремонта, заказа именникового и специального оборудования, проведение необходимых НИОКР. Выделенные уровни составили основу комплексного метода расчёта электрических нагрузок, принятия технических решений на предпроектных стадиях (в электрической части).

Таким образом, для технического можно также принять пять срезов управления. Для каждого среза цепочка зависимостей элемента от элемента (разных и одного вида) невелика – 5–7. Тогда можно говорить, что объект, где выделяемо 30–40 видов, должен проявлять ценологические свойства (обращаясь далее к модели простых чисел, пока заметим, что 101!, составленный из 26-ти видов, даёт удовлетворительные параметры Н-распределения). Подтверждением полученного теоретически числа видов, особи которых, самоорганизуясь, образуют ценологический объект, является статистика [2,23].

Говоря о связях между видами (особями) одного ценоза, ещё раз обратим внимание на единичность типа «хищник–жертва» Вольтерра [38]. Хотелось бы предложить модель значимых связей отдельных особей всех видов ценозов, основанную на качественной оценке её адекватности. Пусть задан натуральный ряд чисел. Для достаточно большого значения числа, казалось бы, разложение на простые сомножители (виды) должно давать «длинные» произведения. Но это оказалось не так. Возьмём часть ряда от одного простого числа до другого:

220333	простое число	220343	19·11597
220334	2·41·2687	220344	2·2·2·3·9181
220035	3·5·37·397	220345	5·127·347
220036	2·2·2·2·47·293	220346	2·7·15739
220037	13·17·997	220347	3·3·3·8161
220038	2·3·3·12241	220348	2·2·31·1777
220039	7·31477	220349	179·1231
220040	2·2·5·23·479	220350	2·3·5·5·13·113
220041	3·11·11·607	220351	простое число
220042	2·29·29·131

Среднее число связей, включая одно из простых чисел, составляет 3,7. Любопытно! Конечно, есть саранчёвые всплески 2ⁿ, 3^m, …, но они лишь подтверждают ценологические свойства натурального ряда.

Обобщим изложенное и укажем на концептуальные отличия моего подхода, касающиеся техноценоза, вида, особи как единичного элемента.

Техноценоз – сообщество изделий конвенционально определённого объекта, включающее популяции всех видов выделенного семейства; множество образующих целостность элементов-изделий, характеризующееся слабыми связями и слабыми взаимодействиями относительно друг друга; система техногенного происхождения, рассматриваемая как сообщество классифицируемых по видам единиц техники, технологии, материала, продукции, отходов, и выделяемая административно-территориально для целей инвестиционного проектирования, построения (сооружение, монтаж, наладка), обеспечения функционирования (эксплуатация, ремонт), управления (менеджмент). Гносеологически такое определение позволяет опереться на ценологический подход естествознания и математический аппарат негауссовых гиперболических Н-распределений для исследования систем (объектов) типа: цех, производство, предприятие (организация) или отдельное его хозяйство, отрасль, мировое производство продукта (сталь, нефть, зерно); село, район, город, область, регион, страна, сообщество государств или общемировых движений. Исследование технического ценоза – исследование целостности, которая структурируется и характеризуется устойчивыми параметрами.

Обратим внимание на использование термина система. Хотя техноценоз, безусловно, система техногенного происхождения, и предприятия (города) можно исследовать как системы определённого типа. Но может быть предложена иная точка зрения на такие объекты – ценологическая: сам ценоз не является системой. Ценоз – это ценоз. Ценологические представления опираются на третью научную картину мира [4,6,39,40], а системный подход, системный анализ, системные исследования, системотехника, системно-мыследеятельностная методология – на детерминистские представления первой научной картины мира и вероятностные - второй. Этими представлениями для технического система определена как целое, составленное из частей; объективное единство закономерно связанных друг с другом предметов, явлений, знаний о природе и обществе; множество элементов (узлов, агрегатов, приборов и т.п.), понятий, норм с отношениями и связями между ними, образующее некоторую целостность и подчинённое определённому руководящему принципу [41]. Философски система – категория, обозначающая объект, организованный в качестве целостности (где энергия связей между элементами системы превышает энергию их связей с элементами других систем), и задающая онтологическое ядро системного подхода [42].

Оба определения подчеркивают целостность (единство) и наличие связей. Это восходит к известным основополагающим работам (цитируется по [2]): Л.Берталанфи определял систему как комплекс элементов, находящихся во взаимодействии [43]; Р.Л.Акофф считал, что система – любая сущность, концептуальная или физическая, состоящая из взаимосвязанных частей [44]; М.Тода и Э.Х.Шуфорд: «Системой в самом широком смысле может быть решительно всё, что можно рассматривать как отдельную сущность» (под столь широкое определение подпадает и ценоз, но для практики нужна конкретизация); В.Н.Садовский и Э.Г.Юдин: «Система – множество элементов с отношениями и связями между ними, образующее определённую целостность» [46].

Распространяя на предприятия (организации) понятие большие системы (и не отделяя его от понятия сложные), можно утверждать, что они характеризуются: большими размерами – по числу частей и выполняемых функций; сложностью поведения как следствием большого числа взаимосвязей элементов; наличием общей цели; статистическим распределением поступления внешних воздействий; конкурирующим, состязательным характером подсистем; автоматизацией и информатизацией процесса функционирования; большими сроками создания; вхождением в качестве элемента в системы более высокого порядка; возможностью разбиения на системы более низкого порядка. Относится ли это к ценозам?

Сначала цитата [28,с.100]: «…картине мира, которая видит целостность мира достаточно жёсткой, начинает противостоять ценотическая картина мира (в основном, это технетика …), видящая мир как целостность довольно рыхлую, выявляемую лишь на больших масштабах времени и пространства (в том числе фазового), но ничуть не менее существенную. Если синергетика вольно или невольно моделирует мир организмом, то технетика – биоценозом, то есть той целостностью, которая лишь в XX веке замечена». А ранее, обращая внимание, что «наиболее общее понимание проблемы» предложено мною: «Квази-гиперболичность естественно возникает всюду, где есть нежёсткая система со слабыми связями, являющая собой в каком-то смысле целостность».

Многое из теории систем не применимо к теории техноценозов. Техноценоз вообще не делится на части, а образуется, и не частями, а неделимыми элементами, каждый из которых выполняет единичное количество функций, и эти функции слабо определяются другими (существует статистическая незначимость связей и взаимодействий [47]). Для ценоза отсутствуют (неприменимы) ключевые понятия теории систем: вход, выход, обратная связь, когда, например [48], технологические процессы и агрегаты представляются как множественные объекты управления, для которых характерно использование нескольких регулирующих воздействий для поддержания требуемого значения одной выходной переменной. Возможность разбиения и вхождения специфична, а то и отсутствует. Вещи в квартире (не новосела, не в гостиничном номере), в том числе её электрика [49], образуют ценоз. Но он как сообщество не является подсистемой ни «более высокого», ни «более низкого» порядка. Отдельные же элементы – электропечь, холодильник, телевизор – образуют «внеквартирный» ценоз. Есть отдельные элементы, постоянно или мигрирующе присутствующие в ценозе и определяющие его функционирование, жизнь и смерть многих других элементов, но они не принадлежат ценозу. Поэтому их не следует и учитывать при ценологическом структурном анализе. Так, Саянский алюминиевый завод не определяется Хакасией, как и медведь биоценозом – опушкой леса.

Итак, первое - ценоз состоит из идентифицируемых особей, каждая из которых классифицируется своей принадлежностью к тому или иному виду (группа особей одного вида образует популяцию). Идентификация – одно из отличий моего подхода от, назовём одним словом, синергетического [25–27], где физико-химические частицы одного наименования неразличимы (элементарные, атомы, молекулы, соединения). Почему-то на отдельный атом, поймав его во время инструментальной облавы, нельзя повесить табличку с фамилией-номером (разве застрелить): он немедленно скроется в базарной толпе ординарности. Второе отличие – слабые связи и слабые взаимодействия между особями.

Идентификация и определение связей особи требуют уточнения самого определения, тем более что только ленивый не критиковал меня за этот термин. Особь, по Ожегову (и Виноградову, и «Словарю русского языка») – самостоятельно существующий организм, индивидуум (вспомним многообразие особей растительного мира). У Даля – неделимое, индивид; всякое отдельное существо или растение (по Далю, царства природы делятся на «классы, разряды, семьи, роды, виды, породы, кои уже составлены из особей»).

Трудность и медленность внедрения обобщающих терминов (мною используются как таксоны лишь особь, вид, род, семейство) объясняются неразвитостью общей науки о технической реальности (отсутствует обобщение, подобное выполненному К.Линнеем, 1735), далеко зашедшей специализацией как по техническим специальностям (научным направлениям), так и по виду технической деятельности: один задумывается о единичном, другой конструирует вид, третий устанавливает особь, четвёртый заказывает вид, пятый эксплуатирует особь, и так по кругу, оценивая (не)пригодность вида, рода («Жигули»), а то и семейства в целом. Из Киплинга: «Есть 960 способов создания баллад племён/ И каждый из них правилен!», а C.B.Williams [31] замечает, что если заменить “правильный” на “совместимый с очевидностью”, то это может быть отнесено к человеческим усилиям в классификации животных и растений.

Специализация – магистральный путь техногенной цивилизации, усугубляемый глобализацией. Вспомним Винера: «В настоящее же время лишь немногие учёные могут назвать себя математиками или физиками, или биологами, не прибавляя к этому дальнейшего ограничения … всякий вопрос, сколько-нибудь выходящий за … узкие пределы, … учёный чаще всего будет рассматривать как нечто, относящееся к коллеге, который работает через три комнаты дальше по коридору» [50,с.44]. Ценологические исследования заняты общей закономерностью, действующей в любой реальности и касающейся любой науки. Именно поэтому требуется единство терминов и обозначений, включая математический аппарат.

Возьмем за основу концепцию триединства: особь–вид–ценоз. Будем считать основополагающими [31,51,52] и опираться на [2,4,6,9–12,22,28,30, 36,47,53–58].

Р.Фишер в 1943 г. показал применимость гиперболической модели [30] для исследования структуры ценозов (соотношения редко и часто встречающихся видов), доказав устойчивость структуры вне зависимости от времени и пространства, от рассматриваемого семейства. Подтверждающая статистика [31] обширна: исследуются проблемы видов и особей зоологических, ботанических, малых и больших районов; проблемы видов и высших групп, их распределение по классификации; разнообразие как измеримая характеристика популяции; распределение частот паразитов на/или в организмах хозяев; проблемы внутривидового соревнования и статистической экологии. Указывается на работы Watson (1859), давшего таблицу площадей и числа видов цветущих растений в Англии, и Wallace (1910) – по умеренному и тропическому климату; Kirby (1904), классифицировавшего 805 видов по 209 родам. Yule (1924), развивая [59] о hollow curve, объяснил закономерность тем, что шансы образования новых видов из других внутри одного рода в любой определённый промежуток времени (час, год, столетие) постоянны для всех времён [60]. Он подчеркивал, что имеется почти прямая линия отношения логарифма числа видов по роду к логарифму числа родов.

Williams рассматривает неопубликованные тезисы Stanley Garthside (1928), ссылки на которые в отечественной литературе обычны, сделавшего вывод: «несмотря на большое количество особей, которым и характеризуются некоторые виды, большое количество видов представлено сравнительно малой численностью». Затем Williams пишет, что если n – число особей какого-либо вида (численность популяции), а данные значения представить логарифмами, то между n=1 (ноева каста) и n=24 (саранчёвая) кривая близка к прямой (приводятся и другие примеры). Отношение количества видов к числу особей, численность которых одинакова для всей выделенной группы видов (касты), выражается равенством

S=с/nm,

(1)

где m и с – константы. Прямолинейное отношение бывает, когда logS+mlogn= =const, которая представляет гиперболу, если m=1.

Но основная модель, принятая в монографии [31] – логарифмический ряд Фишера [30]. Модель в свое время широко обсуждалась [61], возможность её использования для техноценозов мною подтверждена [32]. Однако дальнейшие исследования [2,9] привели всё-таки к модели (1). Вычисления членов логарифмического ряда оказались сложнее, единственность ряда не подтверждалась. Тенденция изменения значения величины x в функции отношения числа особей U к числу видов S (повторяемость d=U/S) не совпала с нашей статистикой. У Фишера:

d	x	D	x	d	x
1,443	0,97	25,58	0,993	144,6	0,9990
1,637	0,98	37,48	0,995	319,4	0,9996
2,483	0,99	57,21	0,997	1086	0,9999.

Концепция Р.Фишера заключается в следующем: распределение частот видов, каждый из которых представлен 1, 2, 3, … особями (n₁ – число видов, каждый из которых представлен одной особью – ноева каста) математически описывается логарифмическим рядом

αx, αx2/2, αx3/3, …,

(2)

где x – константа, меньшая единицы; n₁=αx; число видов S=α(–log(1–x)) и число особей U=αx(1–x) (при x=1 ряд расходится).

Фишер заметил ограничение 10% на число особей для редких видов; я говорю о 5–10% особей, образующих ноеву касту (это 40–60% видов), и 5–10% числа видов – касту саранчёвую (40–60% особей). Williams, отсылая к первоисточникам, где качественно описывается явление [62–64], многократно подчеркивает, что половина видов – редкие (в [31] не говорится о параллелях и не упоминается пионерная работа В.Парето [65]).

Первые статистические исследования массива публикаций с целью анализа научной продуктивности принадлежат А.Лотке [58,66], получившему эмпирическую зависимость для числа учёных n_i (видов), написавших i статей (особей):

ni=n1/i2; i=1, 2, …, imax ,

(3)

где n₁– число учёных (видов), написавших всего одну статью (ноева каста); i_max– максимальная продуктивность учёного (саранчёвая каста).

Суммируя (3), полагая i_max→∞ и учитывая сходимость ряда 1/i², получают предельное значение вероятности доли учёных (видов) с минимальной продуктивностью в одну статью (одностатейники) в данном массиве авторов, общее количество которых S:

(4)

Нормируя, деля обе части (3) на S, приходят к частотному распределению (P_i – вероятность) научной продуктивности – к доле учёных p_i (видов), написавших i статей (особей) по данной тематике

(5)

Выражения (3) и (5) носят название закона Лотки или закона обратных квадратов. Яблонский замечает: «Инвариантность, устойчивость этого закона на множестве научных областей позволяет говорить о нём как об одной из основных наукометрических закономерностей распределения научной продуктивности» [58,с.27], называемой гиперболической [67].

Для семейства распределений

(6)

нормировочный коэффициент  определяют выражением:

(7)

которое при i_max→∞ даёт минимально возможную долю ноевой касты (одностатейников), выраженную через дзета-функцию Римана:

(8)

где С≈0,58 – постоянная Эйлера.

Непрерывным аналогом закона Лотки является распределение Парето (связываемое с распределением доходов [68]), получаемое из (6) и отличающееся от представления [69]:

(9)

Оно описывает плотность распределения числа видов, представленных x особями при минимальной численности x₀ (x₀≤x≤∞ – непрерывная величина). Появление новых особей пропорционально уже существующим dx/dt=λx, x(t)=x₀e^λt (λ – параметр интенсивности), а время существования вида, распределённое в общем случае случайным образом по показательному закону, p(t)=μe^μt (μ – параметр). Распределение p(x) для экспоненты x(t) имеет вид (9), где α=μ/λ.

Ранговое распределение, если связать его с (6), принимает вид

(10)

При α=1 форму (10), которой в частотной модификации соответствует закон Лотки, называют законом Ципфа

ir=n1/r.

(11)

Ранговая дифференциальная форма распределения Ципфа, называемая распределением Мандельброта (или законом Ципфа-Мандельброта), исправляет эффект рангового искажения:

(12)

Эмпирическое распределение публикаций фиксированного профиля по журналам называют распределением Брэдфорда, и оно имеет вид:

X(r)=a+blogr,

(13)

где r – ранг журнала; X(r) – кумулятивное число статей; a и b – параметры аппроксимации Брэдфорда.

На базе введённого формализма Орлов [70] анализирует частотные структуры типа, как он их называет, Ципфа-Мандельброта (в его обозначениях):

(14)

Формула (14) Мандельброта обобщает наблюдения Эступа, Кондома, Ципфа на случай изогнутого билогарифмического частотного графика (благодаря наличию константы B).

Орлов показывает, что функция структурной плотности вида

f(p)=A/pα,

(15)

где A, α – константы, описывают ту же частотную структуру, что и формула Мандельброта (12), (14); , где N – объём выборки (длина текста); m_i – абсолютная частота i-го элемента, если положить:

(16)

Константа A определяется из условий нормировки

(17)

Орлов называет обобщённым законом Ципфа-Мандельброта любую подчинённость структуры выражению (15) независимо от значения параметра α и утверждает, что существует большая группа одноразовых слов (ноева каста), что позволяет записать

pn=1/N.

(18)

Выборка, частотная структура которой подчинена обобщённому закону, определена как ципфовский объём (объём Ципфа: представление о такой величине введено Ципфом [51] под названием «оптимальный объём» в ответ на критику М.Джуза). Словарь как функция от объёма Ципфа Z:

(19)

Модельный текст Орлова предполагает неограниченный статистически однородный текст: 1) вероятность употребления каждого слова не зависит от позиции этого слова и ранее использованных слов (разные распределения приводят к одинаковым математическим ожиданиям числа редко встречающихся слов); 2) на выборке любого объёма из текста имеются одноразовые слова (словарь текста бесконечен); 3) на выборках фиксированного объёма Z из этого текста выполняется обобщённый закон Ципфа-Мандельброта (вероятности частых слов подчинены (14), а для числа m-разовых слов предлагаются выражения математического ожидания n₁(m,Z)=n₁(Z)/m(m+1) числа m -разовых слов в выборках).

При изменении объёма частоты частых (саранчёвых) слов останутся неизменными. Но последний член в эмпирическом наборе частот будет иным. Значит, если N<Z, набор будет иметь меньше членов, чем набор на объёме Ципфа. И наоборот, если N>Z. Орлов делает важный вывод: частотная структура модельного текста не может быть стабильной – она есть функция объёма выборки (при N<Z число одноразовых слов больше половины словарного запаса).

«Таким образом, словарь с ростом выборки нарастает быстрее, чем больше величина Z. Это значит, что не только от значения α=1/γ, но и от значения объёма Ципфа зависит относительная насыщенность словаря текста, поскольку в пределах одного языка p₁ и α можно считать вполне приемлемой мерой лексической концентрации» [70,с.193].

Целесообразность принятия гипотезы о «ципфовском» спектре защищается Орловым и в публикации [71], где он проверил её на примере не лингвистической, а электрической статистики (ремонтируемые электродвигатели по месяцам и году Новосибирского металлургического завода). По существу [70,71] отрицает утверждения [9,28] и всю подборку журнала [72–75], полагая, что лексические выборки универсально описываются модельным текстом «независимо от стиля, жанра и языка», а впечатление, что отсутствует математическое ожидание – парадокс, который исчезает, если использовать объём Ципфа.

Шрейдер, говоря о Ю.К.Орлове и обсуждая мои результаты, констатировал, что Орлов первым обратил внимание на значимость более тонких закономерностей ранговых распределений (наличие большого количества слов единичной встречаемости – ноевой касты) и то, что «качество выполнения закона Ципфа для данного текста определяется не его объёмом, но свойством быть целостным текстом. Последнее уже явно не согласуется с вероятностной парадигмой, требующей, чтобы увеличение выборки влекло за собой улучшение соответствия между наблюдаемыми частотами и теоретически предсказанными вероятностями событий» [76,с.35].

Для практических целей в 70-х годах я пытался использовать ципфовский объём, опираясь как на [70], так и на [57]. Анализ выборок и генеральных совокупностей подтвердил качественно тенденцию роста объёма словаря (числа видов S) при увеличении выборки (количества особей U), уменьшение величины ноевой касты (A – относительное её значение) и рост повторяемости d, неопределённость поведения характеристического показателя γ, ошибки σ, энтропии H (в табл.1 дано извлечение из 400 авторских распределений, приведённых в [9] и основанных на [78]; обобщение см. [23]). Количественное же подтверждение нельзя признать удовлетворительным, что позволило сделать вывод: модели, основанные на частотах и на логарифмическом представлении, трудно используемы.

Таблица 4

Для практики важны исследования [57], где констатируется не очевидное с точки зрения теории вероятностей утверждение, что минимальное значение функции равно единице, и ставится вопрос, какое значение принимает на правом конце интервала m(1) гипербола: F_N=F_min=β. Если найдено β, можно говорить о двух крайних значениях конца гиперболы, ограниченных возможными значениями β. Связь между длиной текста T и объёмом словаря V предсказывается законом Ципфа:

	(20)
T=βVlnV.	(21)

Требование равновеликости m(1) – последней ступени и площади под последним фрагментом гиперболы формулирует условие «правильности текста»: текст не только должен содержать слова с единичной частотой, но доля таких слов в объёме всего словаря V строго определена

(22)

Значение выражения (22) широко мною используется как утверждение, что объём ноевой касты равен 60% (это 5-10% от числа особей), а из условий симметрии гиперболы не менее 40% повторяющиеся виды.

Легко проверяема в экспериментах формулировка закона Ципфа

ln n/lnn1,

(23)

где λ(x) – объём текста, покрываемый первыми по рангу n словами (при γ=1).

Можно интерпретировать (23), положив n₁=V,

,

(24)

и говорить, что чем больше текст, тем большую роль в нём играют 10% самых частых слов (и обратно – роль остальных 90% словаря уменьшается с увеличением длины текста).

Существует множество объяснений действию закона Ципфа [4,11,12,25–28,52–56,67,70,76,77], но ни одно из них, ни дискуссия на представительной конференции 1996 г. (с участием Ю.А.Шрейдера, А.П.Левича, Ю.В.Чайков-ского, С.Д.Хайтуна, Ю.К.Орлова, Б.А.Трубникова, Ю.К.Крылова, Т.Г.Петрова и учёных, развивающих ценологическое направление) не представляются доказательными.

Мне ближе объяснение закона Ципфа, основанное на модели Бозе-Эйнштейна [79], предложенной Хиллом. Рассматривается родо-видовая форма закона Ципфа, где подразумевается любая система классификации единиц таким образом, что отношение классов с точным S единиц в определённом смысле приблизительно пропорционально S^–(1+α), для постоянной α>1. Распределение видов в родах выглядит в форме Бозе-Эйнштейна

(25)

где N видов распределено по M непустым родам; L_i – число видов в i-м роде; l=(l₁, …, l_m), l_i≥1, .

Рассмотрим обобщённую математическую постановку сегодняшнего времени (но в наших обозначениях), называемую (в том числе и в Интернете) первым и вторым законами Ципфа. Чтобы получить ципфовские ключевые слова произвольных документов (текстов), надо уметь делать описанное выше: выделить и сосчитать все особи-слова из текста, рассматриваемого как целостность (это может быть весь Пушкин или Лермонтов, естественно, имеется в виду их сохранившееся творческое наследие; весь «Евгений Онегин», отдельная глава, слова на какую-либо букву алфавита [78]), определить вид, подсчитать, сколькими особями представлен каждый вид (определить численность каждой популяции), и лишь затем приступить к математической обработке. Если обратиться к лингвистике – основному источнику статистики для Ципфа, начинают говорить о вхождении каждого слова в текст и разных словах, входящих в текст с одинаковой частотой. При этом, говоря о лексическом разнообразии словаря [80], мы должны понимать фразу (с. 922): «Алфавитный словник Частотного словаря содержит 39268 различных лексем общим числом 1056382 словоупотребления». Не различая вид (лексему) и особь (словоупотребление), мы получили бы: слова словаря содержат «x» слов числом «y» слов (в некоторых технических публикациях такое неразличение встречается).

Чтобы словоупотребление-особь отнести к лингвистическому виду, недостаточно простых правил: глагол – неопределённая форма; существительное – именительный падеж, единственное число. Что делать со словами ботинка и ботинок, бýдя и будя? Не каждый технарий определил бы, что Лермонтов [81] употребил «а» как союз 1518 раз, как междометие – 70, как частицу – 14, как сокращение – 2 раза.

Не формализуя как триединую задачу выделение особь–вид–ценоз, Ципф подсчитывал и однозначно записывал всё количество особей u_iÎU, относя каждую к какому-либо виду s_iÎS (выделенного семейства исследуемого ценоза), тем самым анализировал текст длиной Т и составлял словарь объёмом V, фиксируя некоторое наблюдение (факт), в наиболее общем виде характеризуемое двумя величинами: суммарным количеством особей (каждая особь – отдельная запись) и общим количеством видов:

(26)

где i=1, 2, …, U; j=1, 2, …, S.

Тогда можно говорить о статистической вероятности (частоте) случайного события, заключающегося в выделении (извлечении) особи, идентифицируемой по виду (отнесённой к какому-либо виду). Можно принять, что извлечение осуществляется по схеме с возвращением, где число шаров равно числу особей, а видов – во сколько цветов они окрашены (один шар – один цвет). Это ведёт к известному определению вероятности p_i и теоретико-информационной мере степени неопределённости случайной величины (энтропии) Н, используемой как показатель общего разнообразия Шеннона  [2,9,53]:

(27)

Но это – единичная вероятность того, что мы «достанем» данную особь: вероятность случайного независимого несовместного события встретить данную особь.

Не эту вероятность имеют в виду, когда говорят о первом законе Ципфа, утверждающем, что произведение вероятности обнаружения особи в тексте и ранга частоты r дают константу b. Ципф каждую особь относит к какому-либо виду, объединяя особи одного вида в группы (популяции). Наибольшей по численности популяции присваивается первый ранг r₁=1, вероятность которой l(1), и далее по убывающей L(r) выстраивая все популяции, число которых оказывается равным числу видов S. Вероятность появления ранга 1/S – не информативна без дальнейшей параметризации. Поэтому в первом законе Ципфа речь идёт о вероятности

(28)

а сам закон (b=1)

b=rl(r)

(29)

Функция (29) – равносторонняя гипербола, значение параметров которой различно при исследовании языков, но внутри одной языковой группы неизменно (для английских текстов константа b Ципфа равна приблизительно 0,1). Мною выражение (28) названо (определено) ранговидовым гиперболическим Н-распределением.

Второй закон Ципфа «количество–частота» объединяет популяции одной численности i (виды, представленные одинаковым количеством особей) в группу kÎK, названную мною кастой, и утверждает, что между значениями i=1,2, … и частотой (вероятностью) появления группы (касты) есть зависимость, отражаемая кривой (гиперболической), параметры которой сохраняются для всех без исключения текстов, созданных человеком (с небольшими межязыковыми отличиями). Небольшое отличие коэффициентов, отвечающих за наклон кривой (вогнутость гиперболы), в логарифмическом масштабе даёт на графике прямую (за исключением нескольких начальных точек). Второй закон Ципфа в моей терминологии есть видовое гиперболическое Н-распределение. На примере простых чисел (рис.1) представлены видовое (рис. 1,а) и ранговидовое (рис. 1,б) Н-распределения и Н-распределение по параметру (рис. 1,в), служащее не для исследования структуры, а для системного описания ценоза.

При рассмотрении отличий Н-подхода ценологической технетической школы будем иметь в виду именно первый и второй законы Ципфа, понимая их изначальность. Расширяют ципфовские представления достаточно полно обзоры многочисленных законов и распределений [4, 31, 36, 51, 52, 54, 55, 57, 58, 67, 70, 73-76], из которых я бы отметил концептуальность [28] и строгость [82]. Заметим, что существует много подходов к представлению гиперболической Н-зависимости иной формой – заменой осей и др. Дискуссия [4] наглядно демонстрирует это.

 

Рис. 1,а. Видовое распределение

 

Рис. 1,б. Ранговидовое Н-распределение

 

Рис. 1,в. Ранговое распределение

 

Рис 1. Виды распределений

 

 

Приведём лишь оценку неравенства доходов, которая восходит к В.Парето [65,68], но связывается с используемой в экономической теории кривой Лоренца [83]. Это показатель, отражающий неравномерность распределения совокупного дохода общества между различными группами населения. На рис.2 линия 0С показывает абсолютное равенство в распределении доходов. Абсолютное неравенство означает человека, который присваивает 100% всего дохода. В реальности фактическое распределение дохода показано линией 0АВСD. Чем больше отклоняется кривая Лоренца от линии 0D, тем больше неравенство в распределении доходов. Если площадь заштрихованного участка графика KF, то показатель (и называемый коэффициентом Джини), измеряющий степень неравенства в доходах, определяют выражением G=KF/0DF. Чем больше отклонение кривой Лоренца от биссектрисы, тем больше коэффициент Джини будет приближаться к 1. Становление рыночной системы хозяйствования и формирование слоя собственников неизбежно усилит влияние принципа распределения по накопленному имуществу. При этом формирование совокупных доходов населения будет способствовать росту дифференциации доходов и социальному расслоению не только богатых, но и бедных.

Охарактеризуем меру концентрации:

(30)

где– накопленный относительный итог для суммарного значения признака (значение ординаты); – накопленная относительная частота (значение абсциссы); – относительная частота. Тогда коэффициент Джини [84]:

G=2KF.

(31)

 

Рис. 2. Кривая Лоренца

 

Что касается собственно Парето, то при рассмотрении устойчивых негауссовых распределений Яблонский [58] говорит о законе Ципфа-Парето (с.65–77), записывая его в виде:

(32)

где

Если взять распределение Коши в простейшем случае и перейти к асимптотике, то закон Ципфа-Парето представляется в виде

(33)

Отметим факт: распределение Парето справочно представлено в [69] наряду с 24 другими (а Ципфа – нет) следующим образом:

Оценка параметров: параметр 1/c; оценка 1/n Σ log x_i; метод максималь-ного правдоподобия; x_i, i=1,2,…,n – выборочные наблюдения. Плотность вероятности и функция распределения Парето представлены на рис.3.

 

Рис.3а. Плотность вероятности распределения Парето         Рис.3б. Функция распределения Парето

Имея в виду (9), хотя мне кажется, это в большей степени относится к форме (15), выводимой, но не тождественной форме (9), Яблонский, ссылаясь на [68], пишет, что показатель α=1,5 характерен для распределения Парето при описании распределения доходов. Обращаясь к Феллеру, показавшему, что известное в астрономии распределение Хольцмарка для интенсивности гравитационного поля звёздных систем имеет вид устойчивого негауссова распределения с характеристическим показателем α=1,5, Яблонский делает вывод [58,с.15]: «Распределение Парето может рассматриваться как эмпирический аналог асимптотики теоретического распределения Хольцмарка … установленная связь между законами Ципфа-Парето и устойчивыми негауссовыми распределениями … приводит к определённым содержательным выводам … отсутствие конечных моментов … указывает на необходимость критического отношения к прогнозированию по методу наименьших квадратов». Без предварительного преобразования можно использовать эмпирические данные «для поиска иных существенных параметров, характеризующих распределение: не моменты, а квантили, энтропия, характеристические показатели и проч.». Говоря о распределениях в экономике и соображениях о размерности Мандельброта для доказательства подчинённости устойчивым распределениям, В.Феллер [85], называет их распределениями Леви-Парето. И это исторически и фактически правильнее, чем называть эту область законами Ципфа.

Не абсолютизируя мнение [54] о всеобщности негауссовых процессов, Яблонский пишет тем не менее, что закон Ципфа-Парето «играет в соответствующих областях (связанных, как правило, с информационными, биологическими, социально-экономическими системами) практически ту же универсальную роль, что и закон Гаусса в стохастических процессах с конечной дисперсией, связанных обычно с естественными процессами в неорганических, физико-химических системах» [58,с.76].

Цитируемое, как и другая библиография по проблематике, не включает в себя исследования материальной части техногенного мира вообще, техноценозов в особенности. По-видимому, моим приоритетом является: 1) доказательство применимости и новизна моих Н-представлений (гиперболических Н-распределений) ко всем областям существующего, складывающегося, ожидаемого и, главное, не ожидаемого технического (техники, технологии, материалов, продукции, отходов как целостности – технетики), распространённости этих представлений в новой, мне принадлежащей трактовке, на все технические науки [2,32,78,86]; 2) открытие закона информационного отбора, который включает фундаментальные представления энергетического и естественного отборов и даёт основу закономерностям документального и интеллектуального отборов [2,78,86,87]; 3) формулировка основ технетики – науки о документальной части технической реальности и о техноценозах [9: 1-е изд.,384 с., 1991; 2-е изд., перераб. и доп., 552 с., 1993; 39,88,89] и основ электрики – приложения технетики, отражающего развитие науки об электричестве и сфере практической деятельности – электротехнике и электроэнергетике [6,20,22,24,35,37,90]. Общность (заимствуя романтизм Н.Винера о новой науке «об управлении и связи в животном и машине») структуры сообществ машин, живых организмов и социального, основанная на подобии процессов передачи, хранения и переработки информации, привела меня к философскому осмыслению сделанного и к концепции философии технетики [3,9,10,39,40,87,91,92], отвергнутой, впрочем, философами Санкт-Петербургского государственного университета [4], несмотря на поддержку ИФ РАН и ИИЕТ РАН.

Как указывалось, мои исследования опирались на биологические представления. Основная причина этого – очевидность аналогий в технике биологическим понятиям особь и вид. Терминология Парето, Брэдфорда, Лотки, Ципфа, Мандельброта для аналогий подходила в меньшей степени. Действительно, легко сравнивать табл. 6 (A.S.Corbet, 1942) Individuals per Species Malaya [31,с.19], где итог: total individuals 9031; total species 620 с электродвигателями моей табл.1. Или табл. 25: Frequency distribution of species of fresh-water algal from samples from a number of small ponds in N.E.Spain, где t.i.=2348; t.s.=355. Или табл. 34, используемую мною как модель распределения на Запсибе видов кабелей по встречаемости: List of species of plants in Jaccard’s 52 quadrats in Switzeland, rearranget in order of frequency of occurances in quadrats, with the number of accurances in brackets, где 92 вида представлено 1303 особями.

Если же обратиться к математической стороне, то основу моих ценологических утверждений составляют работы академиков Колмогорова, Хинчина, Гнеденко [93-101] с учётом [102-103]. Изложим их в сжатом виде.

Со времён Чебышева (1866) общие задачи о предельных законах формулировали следующим образом. Дана последовательность независимых случайных величин х₁, х₂, …, х_k ,…. Наиболее общие условия, которые следует наложить на величины х_k , чтобы

1)       выполнялся закон больших чисел, т.е. при любом ε>0

(34)

2)       имела место центральная предельная теорема

(35)

3)        заключаются в том, что величины х_k имеют конечные математические ожидания (34) и конечные дисперсии (35).

Наиболее существенные результаты в развитии (34), (35) получены А.А.Марковым и А.М.Ляпуновым. Линдеберг (1922) указал более общие, чем у Ляпунова, достаточные условия для применимости закона больших чисел. Классическая проблематика получила завершение, когда А.Н.Колмогоров (1926) дал необходимые и достаточные условия для применимости этого закона, а В.Феллер (1935) показал, что условия Линдеберга являются не только достаточными, но и необходимыми.

Феллер [85] изложение истории начинает с напоминания, что основы общей теории устойчивых распределений заложены П.Леви, который нашёл преобразование Фурье всех строго устойчивых распределений (1924). Понятие безграничной делимости восходит к Б. де Финетти (1929). Более простой новый подход к теории устойчивых распределений стал возможным после введения этого понятия. Преобразования Фурье безгранично делимых распределений с конечными дисперсиями были найдены Колмогоровым (1932). В 1934 г. П.Леви нашёл преобразования Фурье произвольно безгранично делимых распределений, сформулировав новый подход (1937). Им же безгранично делимые распределения изучались с точки зрения случайных процессов. Все последующие исследования происходили под сильным влиянием фундаментальных работ П.Леви. Первые чисто аналитические вывод общей формулы были даны в 1937 г. независимо Феллером и Хинчиным. Интерес к теории был стимулирован замечательными исследованиями А.Дёблина (1939), посвящёнными областям притяжения. В предложенных им функциях впервые появились правильно меняющиеся функции. Современная теория по-прежнему носит отпечаток этой основополагающей работы.

(3)

Классическая центральная предельная теорема получила развитие в новой постановке, когда от случайных величин х_k уже не требовалось существования ни дисперсий, ни математического ожидания. Можно найти постоянные В_n, А_n такие, чтобы функции распределения сумм сходились при n→∞ к закону Гаусса.

(36)

Изучение однородных во времени случайных процессов без последствия привело А.Н.Колмогорова (1930) к созданию теории безгранично делимых законов распределения, разрабатывавшейся далее А.Я.Хинчиным и П.Леви. Оказалось, что класс предельных законов для сумм независимых случайных величин, сходящихся к нормальному закону Гаусса, ýже, чем класс безгранично делимых. Полное решение было получено Б.В.Гнеденко (1937) для математического ожидания и дисперсии величины x:, где F(x) функция распределения случайной величины х, т.е. F(x)=P{x<x}.

Все предельные законы совпадают с так называемыми устойчивыми. Распределение называется устойчивым, если при любых a₁>0, b₁, a₂>0, b₂ найдутся такие a>0 и b, что при всех х

F(a1x+b1)·F(a2x+b2)=F(ax+b)

(37)

осуществляется n-кратная свёртка, в смысле композиции Fⁿ* функций распределения F, любой фиксированной функции распределения F(x). Существует последовательность безгранично делимых законов такая, что  при n→∞.

Распределения G_n по F строятся довольно сложно. Однако важное место занимает случай, когда все G_n получают из одного и того же распределения G линейной заменой аргумента G_n(x)=G(xB_n+A_n), B_n>0, A_n - константа. В этом случае распределение (36)   «нормированных сумм»,   представленное   как   (S_n-A_n)/B_n, сходится к G(n). Известны необходимые и достаточные условия, которым должна удовлетворять исходная функция распределения F, чтобы такое распределение G существовало. Описанный класс всех распределений G совпадает с классом всех устойчивых распределений.

Если ввести неубывающую функцию ограниченной вариации G(u) со свойствами: 1) (1+u²)/u²·dG(u)=dM(u), при u<0; и 2) 1+(1+u²)/u²·dG(u)=dN(u), при u>0;3) cкачок G(u) в точке u=0 равен σ², а подынтегральная функция в нуле определена по непрерывности [{e^itu–1–itu/(1+u²)} (i+u²)/2]_u=0=–t²/2, то переходят к формуле Леви-Хинчина

log fλt=λ{iγt+∫ [{eitu–1– itu/(1+u2)} (i+u2)/u2] dG(u)}.

(38)

Для того, чтобы функция f(t) была характеристической функцией некоторого безгранично делимого распределения, необходимо и достаточно, чтобы её логарифм мог быть представлен в виде

logf(t)=iγt+∫[{eitu–1–itu/(1+u2)} (i+u2)/ u2]*dG(u)},

(39)

где γ – действительная постоянная. Если закон F(x) имеет конечную дисперсию, то γ имеет смысл математического ожидания. Представленный log f(t) формулой (39) единствен.

Чтобы функция распределения F(x) была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы логарифм её характеристической функции был представлен формулой (натуральные логарифмы характеристических функций устойчивых распределений, и только они, допускают представление)

log f(t)=iγt-с|t|α{1+iβ(t/|t|) ω(t,α)},

(40)

где α, β, γ, с – постоянные; α – характеристический показатель устойчивого закона, γ – любое действительное число; -1≤β≤1; 0<α≤2, c>0

     

Функции M(u) и N(u) и постоянную с в выражении (40) следует положить равными (с₁≥0; с₂≥0; с₁+с₂>0)

Α	M(u)	M(u)	С
0<α<2	c1/|u|α	-с2/uα	0
α=2	0	0	≥0

Резюмируя полученные результаты, сделаем вывод, что логарифм характеристической функции устойчивого закона или равен

log f(t)=iγt- σ2/2·t2      (σ>0),

(41)

что представляет нормальный закон, или равен

(42)

c₁≥0, c₂≥0, 0<α<2.

Этим вопрос о каноническом представлении устойчивых законов полностью решается. Интегралы (42) могут быть выражены через элементарные функции, имеющие различный вид, связанный с характеристическим показателем.

1. 0<α<1. Так как интегралы   и

конечны, то формулу (42) можно записать в виде

(43)

Воспользовавшись теоремой Коши об интеграле по замкнутому контуру, выбрав за контур интегрирования отрезки действительной оси от 0 до R, дугу окружности радиусом R с центром в начале и отрезке мнимой оси от 0 до iR, после преобразования получим, что при любом t

(44)

2. 1<α<2. В этом случае, изменив постоянную γ, можно записать (9) в изменённом виде

а затем перейти к (44) в изменённом виде

3. α=1. Результат получается несколько иной:

     

Можно отметить существенные свойства устойчивых распределений.

1. Все устойчивые законы одновершинны.

2. Для каждого устойчивого закона V(x), за исключением нормального и единичного, существуют такие числа α (0<α<2) и с>0, что

lim     x^α{1-V(x)+V(-x)}=c.

x→+∞

Совокупность всех функций распределения F(x), притягивающихся к V(x), называют областью притяжения закона V(x). Все устойчивые законы распределения и только они имеют области притяжения. Все устойчивые законы, за исключением несобственных, непрерывны и имеют непрерывные производные всех порядков.

3. Только нормальный закон среди всех устойчивых законов имеет конечную дисперсию. При 1<α<2 устойчивые законы имеют математическое ожидание, при 0≤α≤1 - не имеют ни дисперсии, ни математического ожидания.

Используем изложенный подход для построения математической модели структуры техноценозов человеческого бытия, образующей материальную основу хозяйства, и распределения ресурсов между индивидами по всей иерархии общественного устройства и административно-хозяйственной подчинённости.

Имея в виду, что вообще говоря, В_n отличается от n^1/α лишь медленно меняющимся множителем, можно принять В_n=n^1/α в том и только в том случае, когда

F(-x) ~ с1/|x|α,  1-F(x) ~ c2/xα,

(45)

что собственно и представляет собой гиперболическое распределение при медленном изменении параметра с.

Воспользуемся двумя основными элементарными типами случайных функций:

1)       нормальным, в котором характеристическая функция f_x(t) случайной величины даётся формулой

(46)

2)       пуассоновским, в котором характеристическая функция f_x(t) имеет вид

log fλ (t)=λc(eiht-1),

(47)

где каждому действительному l³0 соответствует случайная величина ζ_λ причем : 1) ζ₀ тождественно равно нулю; 2) закон распределения разности ζ_λ2-ζ_λ1 при λ₂-λ₁ зависит только от разности λ₂-λ₁; 3) при λ₁<λ₂<…<λ_k разности ζ_λ2-ζ_λ1, ζ_λ3-ζ_λ2, …, ζ_λk-ζ_λk-1 независимы между собой.

(48)

Тогда ζ_λ является при любом натуральном n суммой ζ_λ= η₁+ η₂ +…+η_n   одинаково распределённых независимых слагаемых, что собственно и является основой рангового гиперболического Н-распределения.

Составив функции ζ_λ, соединяющие типы изменения (46) и (47), допустив при этом не только скачки фиксированных размеров h, но и самых разнообразных размеров, и приняв при этом, что на промежутке (λ; λ+dλ) скачок происходит с вероятностью cdλ, а функция распределения размеров скачков есть P(h<u)=F(u), то комбинируя (46) и (47), по Финетти, приходим к формуле

,

не дающей общего решения. Для случая с конечной дисперсией ζ_λ оно было найдено Колмогоровым:

а для случая с бесконечной дисперсией – П.Леви:

Прокомментируем. Упорядочив наблюдения над случайными величинами и придя к (48), можно сказать, что скачки малых размеров могут происходить очень часто, и полная «плотность скачков» может быть бесконечной. При нормировке на отрезке [0,1] приходим к гауссову распределению (на этом утверждении основывалась, в частности, советская система планирования и распределения, нормирования и лимитирования.

Пуассоновский тип возникает в случае, когда ζ_λ в качестве функции λ с вероятностью единица является неубывающей ступенчатой функцией, принимающей только кратные шагу h значения (как, например, в шкале трансформаторов 100, 160, 250,… кВА). Так как большие по абсолютным размерам скачки происходить с бесконечной плотностью не могут, оказалось возможным ввести две функции М(u) и N(u), имеющие смысл: на промежутке (λ, λ+Δλ) скачки h<u<0 происходят с вероятностью M(u)dλ, а скачок h>u>0 – с вероятностью N(u)dλ. При u=0 обе эти функции могут обращаться в бесконечность.

 

 

Обобщим. Ранжирование фактических данных по любому из параметров есть фотография реальной жизни. Наглядно её можно представить гиперболическим Н-распределением. Но в таком случае практика принятия решений не может опираться на среднее (математическое ожидание), не имеющее смысла из-за возможной ошибки на 100% и более. Однако реальное управление пока, в том числе и на государственном уровне, такую ошибку и отсутствие среднего не приемлет: стремятся, опираясь на информационный отбор вариантов, организовать процесс так, чтобы решение принималось с уверенностью в малой ошибке (для человека, особенно для лица, принимающего решения, желательна возможность жестких и однозначных ответов первой научной картины мира. Но такая возможность имеет ограниченную область применения. В условиях вероятностного мира управленец сводит проблему к Гауссу, надеясь на приемлемую ошибку при пользовании математическим ожиданием).

Совместив кривую Н-распределения и плотность нормального распределения, получим геометрическое представление реальности, включающей все возможные нарушения и отклонения (хаос) и результат осмысленного воздействия. Их надо разделить, получив какую-то К-разность (о которой я писал неоднократно [6,9,21,22,72,104,105]) между медианой, характеризующей нормальное распределение, и средним для геометрического представления в целом (математическое решение предложено Кудряшевым С.А. и Двойрисом Н.Н.). Графическое представление результатов исследований, отражаемых выражениями (34)-(48), представлено на рис.5, полученном как результат извлечения из работ [82,106] Золотарёва (следует упомянуть и Петрова В.В. [107]).

Перейдём к моему вúдению проблемы, производя сравнение Н-подхода с формулировками первого и второго законов Ципфа, лишь напоминая о приоритете Парето, Лотки, Леви, Хинчина, Вильямса и об основополагающих (для меня) работах Шрейдера, Яблонского, Орлова, Чайковского, Хайтуна, Колмогорова, Гнеденко.

Исследование ценозов как целостности сводят к их системному описанию иерархической системой показателей (что обязательно для идентификации ценоза [2,8,13,21], однако мною эта процедура здесь не рассматривается) и к структурному ценологическому описанию. Ценологические представления есть новая ступень познания, гносеологически опирающаяся на третью научную картину мира.

Необходимость формализованного описания ценоза есть первое отличие моего подхода. Это должно быть сделано до идентификации элементов-особей и до отнесения каждой особи к конкретному виду (в соответствии с видовой классификацией).

Говоря о показателях (вне зависимости от их вербального или формализованного представления), следует иметь в виду мною сформулированное:

1) ценоз не может быть адекватно описан системой показателей, любая система не чёткая и не полная, увеличение количества показателей и повышение точности (достоверности) каждого не приближает или мало приближает к самому акту выделения ценоза; 2) два ценоза, описанных одной системой показателей, совпадающих в пределах принятой точности для данного класса измерений, могут различаться по существу (другими характеристиками, параметрами, представлениями) сколь угодно далеко (сильно); 3) ценологическое время – время феноменологическое; оно необратимо; ценоз, даже описываемый не изменившимися качественно и количественно показателями, через время Δt уже иной; но это время t<Δt не измеряется малыми промежутками (для одного ценоза – секундами, для другого – годами), а сравнимо по порядку со временем жизни особей тех видов, что группируются вокруг пойнтер-точки R (о ней – далее); 4) ценологическая фрактальность (рис.5) проявляется вложенностью ценозов такой, что она иерархически ограничена 5-7 уровнями (в отличие от бесконечности Мандельброта, представленной, например, кривой Коха); 5) ценологическое пространство неоднородно, нужномерно, в отличие от конечного евклидова.

 

Доказательность этих положений для различных технических ценозов может быть подтверждена диссертационными работами моих учеников, получивших практические результаты применения гиперболических Н-моделей:

Фуфаев В.В. – электропотребление и электроремонт предприятий региона (докт.); Гнатюк В.И. – Н-оптимизация вооружения и военной техники (докт.); Бегметов А.А. (Узбекистан) – структура электрооборудования и технологии цветной металлургии; Яковчук Г.В. – ферросплавное производство; Алфёрова Т.В.(Белоруссия) – временной период устойчивости прогноза; Божков М.И. – нормирование схемных решений для обеспечения оптимальной надёжности; Ячкула Л.И. (США) – иерархия уровней и показателей электроснабжения предприятий; Лоскутов А.Б. – концепция выбора оптимальных мощностей (докт.); Барышников О.П. – Н-организация управления и обеспечения электроремонта Центроэлектрочермет; Афанасьев Ю.В. (Молдавия) – нормирование электропотребления; Дуйсенова М.Б. (Казахстан) – Н-оценка потребности региона в комплектующих и обмоточном приводе; Лагуткин О.Е. – прогнозирование параметров многономенклатурных химических производств; Фуфаева Л.Д. – Н-организация фасовки и хранения лекарственных средств; Кистенёв В.К. – расчётное ранжирование в условиях нестабильного производства; Ошурков М.Г. – параметризация отрасли при перспективном проектировании; Морланг А.А. (Германия) – многоцелевая оптимизация структуры сетей нефтяных промыслов; Хакимов Т.Х. (Узбекистан) – повышение эффективности электрохозяйства при производстве проката и электростали; Буторин В.К. – автоматизированная система «сталь-прокат»; Кучинская О.А. – определение динамических рядов Н-распределения; Иванов В.А. – управление получасовым максимумом нагрузки; Распопов А.В. – нахождение связей и зависимостей электроособей; Исаев А.С. – моделирование Н-распределения простыми числами; Зайцев Е.З. – суммарный прогноз по Н-ограничениям; Хабиб Фатех (Судан) – Н-оценка месячного электропотребления предприятий; Жилин Б.В. – кластеризация Н-распределения предприятий отрасли при определении электрических нагрузок (докт.); Жичкин С.В. – прогноз электропотребления дискретных производств; Прокопчик В.В. (Беларусь) – структурное решение проблемы прохождения кратковременных отключений промышленных предприятий (докт.).

Структурное описание в перечисленных работах основано на понятии эквивалентности: ценоз образован элементами-особями, каждые два из которых не отличимы (одного вида) или различимы (разных видов):

uisj≡uksj; i≠k, sj≠sm,

(49)

т.е. каждый элемент-особь помечают парой чисел: номером, присваиваемым особи u_i=1,2,…, U, где U - число особей одного семейства, образующих текст длиной Т, и номером вида s_j=1,2,... ., S, где S - число видов, образующих словарь объёмом V. Особи одного вида неразличимы и образуют популяцию. Виды, каждый из которых представлен равным количеством особей, образуют касты k_k,=1,2,…,K, т.е. каждая из каст есть множество, образованное популяциями одинаковой численности. Распределение видов (видовое гиперболическое Н-распределение) - это распределение популяций одинаковой численности по кастам.

Воспитанный на каузальности и однозначности технических (физических) законов, уверенный в существовании «оптимального объёма» и самогó «закона» Ципфа, я предполагал возможность отыскания некоторого «идеального» видового распределения, которое и полагал называть Н-распределением. Первые мои ученики, руководствуясь этой идеей, пытались отыскать идеальные Н-параметры, в том числе идеальное значение характеристического показателя α, идеальное значение ноевой (первой точки – начала гиперболы) и саранчёвой (её последней точки). Как-то игнорировалось множество технических и биологических наблюдений. Williams, упоминая тропики, писал о сравнительно малом видовом разнообразии москитов в тундре (при неуступающем количестве гнуса, мошки), о сезонном изменении соотношения вид-численность популяции в Англии. Да и сам я наблюдал сплошняк Chamaenerium angustifolium (L.) Scop. в тайге на месте пожарища, Urtica dioica (L.) – в уничтоженных деревнях, Rheum palmatum (L.) – ковёр на границе таяния вечного снега – лакомства медведя (конечно, ревень оказался другого вида: Rheum compactum (L.) или var. altaicum (Losinsk.). Другими словами, нет a priori параметров, которые можно назвать оптимальными (идеальными).

Пусть i=1,2,3,... - возможная численность популяции; a_i - реализованная численность популяции (i - ряд, соответствующий натуральному ряду чисел, a_i - эмпирически встретившиеся значения). Видовое распределение может быть получено из текста Т непосредственно (табл.2), если выбрать вначале все виды, встретившиеся по одному разу, т.е. популяции, состоящие из одной особи a_i=1; они образуют тем самым первую (ноеву) касту к=1, общее число видов s в которой w₁=11, эмпирическая численность особей в касте a₁w₁=11. Затем все виды, представленные двумя особями: k=2, a₂=2, w₂=4, a₂w₂=8, затем тремя k=3 (число строк в табл.2 равно числу каст К в данном случае – 9). Последовательность w_i называется эмпирическим видовым распределением (распределением видов). Будем упрощённо считать однозначными обозначения Ω(w_i)=Ω(i)=Ω(х):

(50)

где x[1,∞) - непрерывный аналог мощности (численности) популяций i (i - всегда дискретная величина, i=[x]); α>0 - характеристический показатель; постоянная распределения - γ=1+α; W_o=AS, W₁=[W_o], где W_o – теоретическое, не обязательно дискретное значение, и W₁ – фактическое (экспериментальное) значение первой точки; А - постоянная распределения, которую находят из условий нормировки.

Обозначим через N_o самую мощную (саранчёвую) популяцию (касту), т.е. численность вида, представленного наибольшим количеством особей. Тогда численность популяций в ценозе может иметь значения i=1,2,…,N_о, фактически принимая лишь значения а_i. Запишем на основе табл.2 очевидные соотношения для объёма словаря

(51)

длины текста

(52)

и относительной частоты появления касты, определяемой эмпирически ω_i=w_i/V и описываемой непрерывной кривой

ωi=A/xα,

(53)

где 1>A>0, α>0 - константы, соответствующие (1),(6),(15),(32).

Заметим, что ω_i=w_i/Σw_i=w_i/S=A/x^α и ω_i S =Ω(х)=Ω(w_i). Тогда

	(54)

Рис. 6,а. Модель видового Н-распределения

Рис. 6,б. Модель рангового Н-распределения

 

 

Видовые распределения отличаются характером изменения w_i. Устойчивую зависимость показывают Ω(х) - рис.6,а, S (u) – рис.7, а (характер кривой объясняет уменьшение А в выражениях (50) и (53) и увеличение повторяемости d=U/S ), W₁(S) – рис. 7,б - ноева каста (при увеличении выборки эта величина медленно уменьшается, как того требует теорема Гнеденко-Дёблина). Всё вместе - рис. 6 и 7, выражения (50) и (53), наша статистика – позволяет сформулировать второе отличие от законов Ципфа: частотным представлением пользоваться не следует. Преобразование (54) показывает утрату информации при переходе от (50) к (53). Теоретически это означает утрату представлений о «размере» ценоза: исчезают сведения о суммарном U – количестве особей (длине текста Т=Σu_i) и объёме словаря (количестве видов в выборке V=Σs_i).

Подтвердим второе положение, обратившись к табл. 3 (напомним, что таких «строчек» в моём распоряжении свыше 1000, это 2,5 млн единиц-особей), в которой не приведены значения первой точки, лежащие в интервале 0,7-0,9 и ниже ω₁=0,17. Сравнение близких частот – вероятности ω₁ (для практических целей – равных) одного завода, но с разницей в 25 лет (пп. 1 и 2), или разных отраслей (пп. 4 и 5) не сопоставимы по абсолютным U и S. Равные по количеству особей (пп. 2 и 10) совершенно не сопоставимы по ω₁ и повторяемости d. Общая тенденция – снижение численности первой касты с увеличением объёма выборки прослеживается (ср. 4,5,3), но возможно и обратное (пп.8 и 9).

Таблица 3

№ пп	Наименование объекта, год	S	U	Ω1	D
1	Электродвигатели, отремонтированные Запсибом, 1977	1466	3469	0,366	2,7
2	То же, 2001	376	1700	0,348	4,5
3	Генеральная совокупность двигателей, установленных на КарМК, 1979	1968	24721	0,182	12,6
4	В доменном цехе ЧерМК, 1978	333	1616	0,329	4,8
5	Генеральная совокупность двигателей, установленных на Борском стекольном, 1986	574	3266	0,296	5,7
6	Установлено двигателей в ЭСПЦ-1, «Красный Октябрь», 1983	141	420	0,335	3,0
7	Отремонтировано двигателей цехом машиностроительного объединения, 1996	163	696	0,399	4,3
8	Генеральная совокупность двигателей, установленных на Заводе минеральных вод, Железноводск, 1973	36	115	0,458	3,2
9	То же, на Бетонном заводе, Новокузнецк, 1966	255	933	0,534	3,6
10	Все печные трансформаторы СССР, 1979	110	1702	0,172	15,5

Следовательно, ошибочно предположение о существовании определяемых параметров закона видового распределения Ω(х), которые задают некоторую величину, определяемую S,U, и можно считать, что при заданных S,U ряд единственный или оптимальный по «объёму Ципфа». Физика ценозов показывает, что из одного объёма словаря можно получить множество значений U (множество текстов): для известного числа установленных видов машин количество штук-особей может быть различно.

Предпочтение, отданное мною видовому распределению (50), объясняется неочевидностью того, что ноева каста (группа видов, каждый из которых представлен строго одной особью) должна быть наиболее многочисленной (что нарушается, кстати, для силовых трансформаторов, которые директивно ставили парами). Здесь мы не делаем насилия над фактическими данными, выделяя уникальные единичные виды (в табл. 2 их w₁=11), затем – встреченные дважды и т.д. Нет никаких оснований до опыта утверждать, что при этом должна образоваться гипербола. Другое дело – при ранжировании, когда мы ранговое распределение получаем из видового (отсюда термин ранговидовое распределение), а виды принудительно в порядке уменьшения численности каждого вида (численности популяций) располагаются в ряд. Естественно, здесь получается спадающая кривая (другое дело, что у неё длинный хвост).

Третье выделяемое мною отличие от ципфовских представлений – в приоритетной естественности для дискретных величин видового распределения перед ранговидовым. И если мы ставим задачу выявить фундаментальные причины подчинённости физико-химических, биологических, технических (технетических), информационных, социальных ценозов гиперболическими Н-ограничениям, то должны связать идеи глобального эволюционизма с негауссовой статистикой, с вúдением мира, где отсутствует математическое ожидание (среднее), а дисперсия бесконечна (сколь угодно большая ошибка при определении в точке).

Приведём (табл.4) ранговое распределение Λ(r) – рис. 6, б, соответствующее видовому (табл.2): u_r - количество особей вида s_r (численность популяции s_r вида), соответствующее рангу r при общем числе особей U (длина текста Т=|U|). Ранг вида  s=1,2,...,s_r,...,S - это его порядковый номер (номер строки). Последний номер S определяет объём словаря V, можно записать V=|S|. Eсли исключить 3-й столбец, то функция u_r=Λ(r) записывается в виде:

Λ(r)=B/rβ; ω(r)=ur/U; U=ur,

(55)

где 1>B>0, β>0 - константы рангового распределения, которые позднее стали называть ранговидовым гиперболическим Н-распределением, чтобы отличить от рангового Н-распределения по параметру (нагрузке, расходу энергии, трудозатратам и др.), где в порядке убывания параметра располагают цехи, заводы, отрасли, города:

ψ=D/r^φ или в обычно применяемой записи W(r)=W₁/r^β.                (56)

В табл.5 проведено сравнение видового и ранговидового распределений. Если i=1,2,… и r=1,2,… (следовательно Λ(r) соответствуют обязательно порядку чисел натурального ряда, то эмпирическое наблюдение прерывисто (а₅=2; а₆=0; а₇=1; а₈=0). «Выбрасывая» нули и нумеруя по порядку, я выделяю касты – наличествующие популяции. Заметим, что ранговое распределение «свёртывается» в видовое, образуя значительно более короткую запись (см. рис.1 и пример для 1023!).

Выражение (50) применимо при исследовании ценозов, образованных дискретными величинами (56) - для непрерывных величин, например, удельных А_yд и общих расходов ресурсов по цехам предприятия, регионам, стране; распределения предприятий отрасли по лидинговому или иному определяющему виду технологической продукции, всех отраслей промышленности страны по общему показателю (объёму реализации, штатам); распределения предприятий отрасли по максимуму нагрузки, электроёмкости, затратам на ремонт; по показателям качества электроэнергии на 2УР-6УР. Моё исследование ранговых и видовых распределений позволило сделать вывод, что для всех ценозов существуют видовое, ранговидовое и ранговое по параметру Н-распределения.

Рис. 7а. Изменение количества видов S при увеличении числа особей u.

Рис. 7б. Изменение ноевой касты (W₁) при изменении числа видов (S)

 

Подведём итоги. Промежуточная форма (53), собственно и связываемая с Ципфом, несмотря на соответствие её эмпирическим данным и математическому аппарату устойчивых распределений, вызывает трудности применения: 1) параметры А,α зависимы и не обнаруживают сходимости при увеличении выборки, причём, для α существуют ограничения (40), (45), постоянная А снижается, но не линейно; 2) отсутствие математического ожидания и бесконечность дисперсии не дают возможности сравнить два ценоза. Из рис.7,а, где представлена зависимость S(u) и каждой точке соответствует один ценоз, очевидна общая закономерность: словарь пополняется медленнее, чем растёт текст (появление каждого нового вида всё менее вероятно). Следовательно, увеличение объёма выборки из одной генеральной совокупности не приближает к некоторой "стандартной", «идеальной» кривой Н-распределения. Относительная  частота ω, оперируя рядом, каждый член которого делится на S, теряет часть информации и делает применение (53) непригодным для практики. Выражение (50) лишено этого недостатка. Ранговая запись Λ(r), а особенно ω(r) в выражении (55) – это прямой аналог закона Ципфа (это же относится к (56)), если речь идёт о частотах. Нами Λ(r) используется только при подстановке абсолютных значений.

Рассмотрим рис. 6,а, где приведены дискретные значения Ω(w_i) видового распределения табл.5, объединяющей табл. 2 и 4, и их непрерывный аналог Ω(х). Обозначения осей соответствуют табл.5. Ряд w_i хорошо аппроксимируется (50) на отрезке [1,R₁], где i=1,2,…, R₁ - целочисленные значения х, i=[x], R₁=[R]. Рисунок позволяет ввести важное понятие: особую точку, точку перегиба, пойнтер-точку R, которая получила «права гражданства» при обсуждении с С.В.Мейеном результатов ценологических исследований техноценозов. Можно рассматривать касты как характеристику ценоза и говорить об однородности. Всегда Ω(x)>1 или Ω(х)<1; и лишь в точке R Ω(x)≡1. Гипербола делится точкой R на две ветви: слева i=1,2,..,R - неоднородные касты, где каждая образована множеством видов; справа i=R+1,R+2,..., K - однородные касты. В каждой - теоретичеcки рoвно один вид (i соответствует числу особей этого вида), N_o - численность последней (саранчёвой). Kоличество каст связано с пойнтер-точкой соотношением К=R(1+α^-1).

Введение пойнтер-точки R даёт возможность предложить следующую модель: назовём этажом часть ценоза, занимаемого кастой. Пронумеруем этажи. Площадь этажа с любым номером равнa R². Число этажей в системе равняется 2R. Объём системы V=2R³. Cистема распределяет объём равномерно по всем этажам. Каждая каста заселяет один этаж. Характеристика рассеяния объёма системы по этажам при этом максимальна. По существу, предположение, что виды, группирующиеся вокруг i=R, есть виды-определители, наилучшим образом характеризующие данный ценоз, есть гипотеза, подтверждённая ещё на недостаточном количестве статистики. Но наличие точки, имеющей особый характер, математически несомненно. Слева от пойнтер-точки i<R находятся касты (в общем случае – неоднородные), которые образованы многими видами, справа – однородные, образованные многими особями.

Если взять ∫хdx от бесконечности и уменьшать х, то в какой-то точке х=а_i, обозначенной j=1, интеграл станет равным единице: появился вид. Целочисленное значение [x] будет означать количество особей в образовавшейся касте. Аналогично образуются другие однородные касты в интервале j=1,2,…,R₂. R₂=[R/α], где j – номер однородной касты. Для обработки эмпирических распределений и вычисления W_o,α в выражении (50) использовали метод наименьших квадратов и метод минимального различия между расчётными U,S,K=R₁+R₂ и наблюдаемыми значениями этих величин.

Достаточно полно гиперболическое Н-распределение описывается обобщающими показателями V=|S|, T=|U|, K, W₁, N_o, что позволяет сформулировать четвёртое отличие от частотных законов Ципфа: сравнение ценозов более информативно (продуктивно) по обобщающим показателям, чем по характеристическим α (или β) и первой точке (или W₁).

Для частотной формы параметры А,α могут совпадать, но, если S,U,W₁,N_o (абсолютные значения) различаются значительно, значит и структура этих ценозов различна. Построчное деление на V=Σw_i для видового (см. ω_i, табл.2) или на Т=Σu_r для рангового (см ω_i  табл.3) уничтожает характеристику- "размер" ценоза, отражённую в оценках Шеннона, Симпсона, Маргалефа, Менхиника [9,86].

Рассматривая повторяемость d=U/S с точки зрения теории и практики, встречаемся с противоположными позициями: с общесистемных - устойчивость и эффективность ценоза тем выше, чем большим разнообразием элементов она характеризуется; с точки зрения унификации, например электроремонта, необходимо резко поднять d, составляющую сейчас по чёрной металлургии 4,6 (для выборки из 100 тыс. отремонтированных электродвигателей); а ноеву касту уменьшить (сейчас она ω₁=0,5). Но для творчества критерии иные. В нём чем меньше унификации, ординарности, чем больше разнообразия, тем лучше. Александр Сергеевич, и не подозревавший, что он реализует оптимальный ципфовский объём: для 20732 слов «Евгения Онегина» (статобработка моя), использовал словарь объёмом 4596 слов. В то время как Гипромез и я, как его работник, установили 24721 электродвигатель (текст) лишь 1968 видов (объём словаря). Не гениально, конечно.

Введение понятия пойнтер-точки для видового Н-распределения (для рангового по параметру это сделал Фуфаев В.В.) позволяет сформулировать пятое существенное отличие: структура ценозов не описывается единой гиперболой; самоорганизуется точка перегиба R такая, что гипербола дискретно-непрерывно существует до этой точки, вырождаясь в ней Ω(R)≡1 в прямую так, что далее все виды единичны W_R,…,W_K, где W_R – значение численности популяции в пойнтер-точке; W_K – численность наибольшей популяции (саранчёвый вид: W_K=N_o). Существует теоретический запрет на возможность совпадения после R численности популяций двух видов. Пятое отличие кратко: структура ценозов описывается числом каст К и пойнтер-точкой R.

Наличие области, тяготеющей к R, пояснялась мною С.В.Мейену на примере таёжного распадка, где сравнение фитоценоза по часто встречающимся видам деревьев и травянистых растений не может быть проведено (они есть и на северной, и на южной стороне распадка). Нельзя сравнить и по уникальным видам (они не пересекаются). Конструктивность идеи была подтверждена А.Л.Вебером на заводском множестве станков механической обработки для выбора типичных представителей при исследовании электропотребления; Е.Б.Соловьёвой (Кудриной) при обработке булгаковского «Мастера и Маргариты» как неформализуемой модели видового распределения (к пойнтер-точке R=34 примыкают: Левий Матвей – 24; Гелла – 28; Н.И.Босой – 29; Варенуха – 34; Римский – 41; Стёпа Лиходеев – 42; Га-Ноцри – 50. Именно эти персонажи и отражают булгаковскую специфику [9] и отличие от «Фауста» Гёте).

Здесь мой результат пересекается с использованием закона Ципфа для извлечения из текста слов, отражающих смысл (ключевых слов). Но теоретическое обоснование различно: у меня не средняя часть гиперболы (как у Ципфа), а точка перегиба, сдвинутая, кстати, относительно «середины».

Итак, разовьём модель, основываясь на свойствах пойнтер-точки R [108]. Видовое Н-распределение хорошо аппроксимируется (50) на отрезке [1,R₁], где R₁=[R] – целая часть числа R. Касты с мощностью популяции i<R назовём неоднородными, в этих кастах популяций больше чем одна. Касты i>R назовём однородными: такие касты представлены одним видом, одной популяцией. В эмпирических распределениях для i>R  w(i)=1 или w(i)=0, а зависимость (50) Ω(i>R)<1. Для определения численности однородных каст воспользуемся неравенством

<< ,

справедливом при N(j)=[Z(j)], где

,

(57)

а j= - целые числа, R₂=[R/α] - целая часть числа

Назовём j - номером однородной касты, по аналогии i<R - номером неоднородной касты. Значение N(j) определяет численность однородной касты из

(58)

 

Таким образом, на отрезке x[1, R] эмпирические распределения можно описывать через

W(i)=[Ω(i)],

(59)

a на полуинтервале x[1, ∞) через

N(j)=[Z(j)].

(60)

Расчётное число элементов множества (особей ценоза)

,

(61)

число популяций ценоза

(62)

Число каст ценоза

К=R1+R2.

(63)

Используя принятые обозначения, выполним анализ. Н-распределение хорошо аппроксимирует ряд w(i) для i<R. В реальных распределениях [23] часто отсутствуют самые многочисленные популяции (первые j= усечены). Мандельброт учёл это обстоятельство и ввёл третью константу, которая в нашей интерпретации означает первые с усечённых однородных каст (неразвитость саранчи). Это даёт возможность использовать два алгоритма: 1) метод наименьших квадратов в целочисленных точках :

(64)

2) совпадение тройки расчётных и эмпирических обобщающих характеристик W(1),S,U или W(1),S,K. Оба метода показали близкие результаты: показатель степени изменялся в пределах α=0,2-2,2, наблюдалось завышенное отношение эмпирического значения N_o к расчётному (медиана интегрального распределения этого отношения 1,5).

Встретившись со значительным разбросом параметров (50), (54), (56) и основываясь на убеждённости, что на основе R можно получить строгое и однозначное описание Н-распределения, Якимов А.Е. предположил, что объём, занимаемый отдельным элементом-особью, определён переменной R: для однородных каст он равен целочисленному значению j[1, R], для неоднородных он равен ν(i), где i[1, R] и i≤ν(i)≤R. Тогда положим

(65)

Будем считать, что распределение объёма системы по этажам определяется энтропией

,

(66)

где g[1, R] - номер этажа, V_g - его объём, V - объём всего пространства. Энтропия максимальна при равенстве объёмов этажей H=lnR/R.

При ν(i)=i объём, занимаемый элементом неоднородной каcты, соответствует объёму, занимаемому элементом однородной касты по правилу j[1, R]. Разность ν(i)-i отражает видовую составляющую объёма; ν(i) - величина непрерывная, элементы внутри популяции неразличимы.

Из соотношения

(67)

и (65) получается (50), хорошо подтверждаемое эмпирическими распределениями для x[1, R]. Худшие результаты показывает, например, полином первой степени

,

(68)

где r=ν(1)=R^1-α, откуда

(69)

Постулируется 2R значений объёмов, занимаемых элементами. Неоднородные касты ν(i) i[1, R] определяют по (50); однородные касты j[1, R] определяют по (60) и выражению

Z(x)=R2/x.

(70)

Реализуется же в системе R значений по числу этажей в системе. Поэтому говоря о 2R, можно говорить лишь об огибающей кривой Н-распределения.

Если рассматривать аргумент x[1, R] как обобщённый, то при движении от точки r происходит его инверсия в точке R. Аргумент для неоднородных каст становится функцией для однородных; для неоднородных каст х – численность популяции, для однородных каст х – объём элемента. Аргумент х проецируется на численность неоднородной касты через j, на объём этажа – через номер этажа g. Параметры распределения R,α и объём элемента неоднородной касты ν(i) остаются непрерывными.

С иных позиций к использованию пойнтер-точки подошёл В.В.Фуфаев (рис.8), ставя практическую задачу повысить эффективность эксплуатации и ремонта, увеличив унификацию. Обратившись к (50), легко показать, что с изменением параметра α и уменьшением величины ноевой касты с W₀₁ до W₀₂  образуется некоторая общность – виртуальная каста N_в. Она численно равна тому числу особей ΔU, которые можно заменить на особи видов, расположенные за R [109]. При заданной  величине единичной трудоёмкости и трудоёмкости такого же элемента (особи-вида) из партии (из потока) рассчитывают экономическую эффективность Э_в, теоретическое значение которой может достичь 30%.

Все рассматриваемые модели – модели статические. Фуфаев обобщил статику Н-распределений (в том числе и наблюдения типа: поступило в ремонт двигателей вида 4,5 АО по заводу – в 1970 г. 71 шт.; 1971 – 54; 1972 – 82; 1973 – 57; 1974 – 65 шт. [20]), представив её графически (рис.9). Наиболее существенное из сделанного им – теоретическое рассмотрение структурно-топологической динамики Н-распределения [12], позволяющей следить за поведением каждого вида во времени и оценить видовую надёжность по относительному движению точки кривой Н-распределения [12,110].

Управление структурой предполагает возможность сравнения двух ценозов, включая сравнение ценозов различной природы. Здесь вновь передо мной встал вопрос об идеальной кривой законов Парето, Лотки, Бредфорда, Ципфа, Мандельброта; о построениях Арапова, Шрейдера, Крылова, Орлова, Чайковского, Хайтуна. Необходимость в эталонном распределении привела меня в 1973 г. к модели простых чисел, когда я предложил до сих пор не востребованную пирамиду разнообразия и, не учтя партийность и цензуру, опрометчиво написал, что основа миропорядка – числа (сославшись, впрочем, на Платона).

 

 

 

 

Примем в качестве канонического дискретное распределение простых сомножителей в факториале некоторого числа N. Назовём видом любое простое число q_r, где r-номер простого числа натурального ряда чисел, абстрактно воспринимаемое, из ряда: 2,3,5,7,...,137,139,149,151,...,509,521,523,541,...(2⁷⁵⁶⁸³⁹-1).., а особью - появление этого простого числа как сомножителя (единица исключается) в любом из чисел натурального ряда. Тогда каждое натуральное число N_i>1 представимо следующим образом:

(71)

где m - степень (встречаемость) простого числа, r - ранг простого числа. Например, N₂₀=20 состоит из сомножителей N₂₀=q₁²q₂⁰q₃¹=2·2·5, где вид q₁- двойка встретился как особь два раза, вид q₃=5 - один раз (q₂-тройка), а в целом для факториала, например, N_i=101! двойка (саранчёвый вид) q₁=1 встретилась (как особь) m₁=97 раз, тройка - 48 раз (q₂=3, m₂=48) и т.д., 11 простых чисел встретилось 1 раз (ноева каста). Последний номер r (для N_i=101! r=26) определяет число видов в системе S. Cумма чисел 97+48+24+…+1+1+1 (сумма особей всех видов) определяет число особей ценоза. Оценка численности первой касты производится с использованием теоремы о простых числах W₁=N/2lnN (с простыми числами много работал Эйлер, который близко подошёл к моей модели, но не описал её). Остальные числа ряда также получаются аналитически, но проще и точнее (из-за дискретности величин) получать их прямым счётом.  Мною предлагались ещё две модели [9], отличающиеся от (71), но они дали худшие результаты. Ранговое представление сомножителей простых чисел как модель ценозов можно применять в абсолютных числах как ряд (71), аналогичный, например N_i=101!, если известно значение S (или U), или как относительную частоту (см. рис.1, где приведены видовое, ранговидовое и ранговое по параметру распределения для факториала 101! и табл.6 и 7 – видовое и ранговидовое для факториала 1023!).

Нумерация каст в видовом распределении имеет физический смысл: номер означает численность особей каждого из видов, т.е. классификация, в данном случае, естественная. Ошибки для редких видов (экспериментальные) перемещают вид из касты в соседнюю (также малочисленную), ошибки в определении числа особей для многочисленных видов, как правило, даже не меняют номера касты (при их сплошной нумерации). Это даёт однозначное распределение каст, канонизированное в виде ряда простых чисел, т.е. при заданном S все остальные параметры получаются по (71) однозначно (например, N_o – число двоек есть численность саранчёвой касты К=32; при ранговом распределении - численность первого ранга).

Модель простых чисел даёт шестое отличие: для заданного количества видов существует единственный ряд, однозначно определяющий гиперболическое Н-распределение и его параметры. Может быть предложена теорема, подобная теореме Вейерштраса.

При разложении каждого числа N_i натурального ряда на простые сомножители существует алгоритм преобразования факториала N_s, где S – номер наибольшего простого числа в факториале такой, что начиная с некоторого произвольного числа исключением некоторых видов можно получить ряд, идентичный гиперболическим Н-рядам с поправкой, связанной с изменением числа сомножителей, равных их числу между N_s-1 и N_s+1.

Модели простых чисел позволяют сформулировать седьмое отличие, замеченное впервые мною (на что обратил внимание Ю.В.Чайковский, придав этому большое значение): на видовой кривой Н-распределения, до точки R непрерывной, имеются

 

6. Ранговидовое Н-представление  простых сомножителе 1023!												7. Видовое Н-распределение простых сомножителей 1023!
i	m	pi	i	m	pi	i	m	pi	i	m	pi		K	i	W(i)	iW(i)
1	1013	2	44	5	193	87	2	449	130	1	733		1	1	75	75
2	508	3	45	5	197	88	2	457	131	1	739		2	2	29	58
3	253	5	46	5	199	89	2	461	132	1	743		3	3	14	42
4	168	7	47	4	211	90	2	463	133	1	751		4	4	8	32
5	101	11	48	4	223	91	2	467	134	1	757		5	5	7	35
6	84	13	49	4	227	92	2	479	135	1	761		6	6	5	30
7	63	17	50	4	229	93	2	487	136	1	769		7	7	3	21
8	55	19	51	4	233	94	2	491	137	1	773		8	8	1	8
9	45	23	52	4	239	95	2	499	138	1	787		9	9	4	36
10	36	29	53	4	241	96	2	503	139	1	797		10	10	2	20
11	34	31	54	4	251	97	2	509	140	1	809		11	11	1	11
12	27	37	55	3	257	98	1	521	141	1	811		12	12	2	24
13	24	41	56	3	263	99	1	523	142	1	821		13	14	2	28
14	23	43	57	3	269	100	1	541	143	1	823		14	15	1	15
15	21	47	58	3	271	101	1	547	144	1	827		15	16	1	16
16	19	53	59	3	277	102	1	557	145	1	829		16	17	1	17
17	17	59	60	3	281	103	1	563	146	1	839		17	19	1	19
18	16	61	61	3	283	104	1	569	147	1	853		18	21	1	21
19	15	67	62	3	293	105	1	571	148	1	857		19	23	1	23
20	14	71	63	3	307	106	1	577	149	1	859		20	24	1	24
21	14	73	64	3	311	107	1	587	150	1	863		21	27	1	27
22	12	79	65	3	313	108	1	593	151	1	877		22	34	1	34
23	12	83	66	3	317	109	1	599	152	1	881		23	36	1	36
24	11	89	67	3	331	110	1	601	153	1	883		24	45	1	45
25	10	97	68	3	337	111	1	607	154	1	887		25	55	1	55
26	10	101	69	2	347	112	1	613	155	1	907		26	63	1	63
27	9	103	70	2	349	113	1	617	156	1	911		27	84	1	84
28	9	107	71	2	353	114	1	619	157	1	919		28	101	1	101
29	9	109	72	2	359	115	1	631	158	1	929		29	168	1	168
30	9	113	73	2	367	116	1	641	159	1	937		30	253	1	253
31	8	127	74	2	373	117	1	643	160	1	941		31	508	1	508
32	7	131	75	2	379	118	1	647	161	1	947		32	1013	1	1013
33	7	137	76	2	383	119	1	653	162	1	953		32	2614	172	2942
34	7	139	77	2	389	120	1	659	163	1	967		Для табл.6: i – ранг вида, начиная с наибольшей популяции; m – численность вида; pi – наименование вида (простого числа)
35	6	149	78	2	397	121	1	661	164	1	971
36	6	151	79	2	401	122	1	673	165	1	977
37	6	157	80	2	409	123	1	677	166	1	983
38	6	163	81	2	419	124	1	683	167	1	991
39	6	167	82	2	421	125	1	691	168	1	997		Для табл.7: K – номер касты (группы); i – численность особей каждого из W(i) видов; W(i) – количество видов в касте; iW(i) – число особей в касте.
40	5	173	83	2	431	126	1	701	169	1	1009
41	5	179	84	2	433	127	1	709	170	1	1013
42	5	181	85	2	439	128	1	719	171	1	1019
43	5	191	86	2	443	129	1	727	172	1	1021

всплески и провалы, которые обязательны (по терминологии [28]: «наличие горба или несколько горбов посреди склона»); на ранговой - расстояние между саранчёвыми видами неравномерно, а численности популяций растут нелинейно (ср. постоянство Δ=2 для каст 5,6,7.8; всплеск К=9 табл.7 видового распределения и всплеск W_i для k=9,13,21 реального годового распределения Запсиба, табл.8, см. также табл. 1).

Оба отличия требуют пояснения принципиальной разницы подхода Ципфа-Мандельброта, включая построения Орлова, и моего в части первой точки при ранговом по параметру распределении и последней – при видовом. Первая точка – элемент (особь) – не из этого, а из другого ценоза (как Москва, чуть не написал – не из России, где средняя покупательная способность среднедушевых денежных доходов по данным ВЦУЖ в 2,5 раза выше, чем в Санкт-Петербурге). Поэтому не следует «подгонять» кривую, нужно лишь выяснить, из какого ценоза эта особь. Что касается саранчёвых каст, они безусловно из этого ценоза, но обладают свойством трудно предсказуемыми и массово возникать. Факториал 1023! Но дальше 1024! – видов не прибавилось, а всплеск налицо: 1024=2¹⁰. Их надо научиться прогнозировать, а не подгонять под гиперболу. Экспериментально обнаружена теоретически не доказанная возможность заполнения промежутков в дискретно-непрерывной гиперболе до точки R кастами после этой точки: возможна плотная упаковка всего количества. Обратим внимание ещё на возможность свёртки в ограниченное количество шагов (экспериментальный материал не содержит больше четырёх). По существу, видовое распределение (табл.7) есть свёртка рангового: 75 единиц (табл.6) объединено в одну касту и т.д. Но можно сделать следующий шаг: свернуть видовое распределение: в нём единиц – 21, двоек – три, далее 3,4,5,7,8,14,29,75 – по одному. Но дальнейшая свёртка уже невозможна.

Рассматривая общность законов Ципфа и исследуя разнообразие и соотношение крупное-мелкое, как правило, нечётко формулируется возможность переноса результатов из одной области знаний в другую. Изучение технических ценозов имеет преимущество в строгости перед биоценозами и в динамике перед математической лингвистикой (вообще перед областью информационных и социальных исследований). Во-первых, относительно устоявшиеся представления о системе показателей и структуре цеха, производства, завода; города, региона, государства. Во-вторых, бухгалтерскую, в идеале, статистику. В третьих, возможность отследить эволюцию вида, опускаясь до отдельной особи. Типы техноэволюции и биоэволюции – не сопоставимы, но взаимное моделирование многообещающе. В качестве иллюстрации технической отчётности в табл.9 приводим для саранчёвых каст периодичность помесячного поступления в ремонт («смерть» особей)

Реальное существование и эволюция ценозов могут быть описаны системой показателей-параметров, которые не обязательно представимы числом. Впрочем, и за числом зачастую видятся качественные отличия, например, объём доменной печи или памяти компьютера. И здесь я перехожу от отличий математической стороны законов Ципфа и Н-представлений к различию концепций.

Мой объект – ценоз. Его следует выделить и описать системой показателей. Но что означает такая модель? Это описание параметров точки: ценоз становится элементом, неделимым объектом, который рассматривают по какому-либо одному параметру в ряду других объектов этого семейства (множество параметров ведёт к выделению кластеров, нейронным сетям, дающим возможность сравнивать объекты). Выстраивание объектов по параметру означает, что рассматривается некоторый новый ценоз, в который ценоз элементарный включён и является частью этого семейства. Однако вложение вверх, как и возможное дробление, ограничены буквально несколькими шагами (что по количеству шагов существенно отличается от фрактального и синергетического подходов).

9.Встречаемость видов двигателей по месяцам

0,55-4ААМ		3-4АМ		30-АИР		1,1-АИР		0,4-АОЛ12		2,2-4А		55-АО2
Дата	i	Дата	i	Дата	i	Дата	i	Дата	i	Дата	i	Дата	i
14.01.00	1	09.02.00	1	02.02.00	1	07.02.00	1	06.01.00	2	27.01.00	1	08.02.00	1
21.03.00	1	24.02.00	1	08.02.00	1	09.06.00	1	14.01.00	1	21.03.00	1	12.05.00	1
01.06.00	1	10.05.00	1	09.02.00	1	16.06.00	1	20.01.00	1	16.05.00	1	01.06.00	3
03.07.00	1	01.06.00	1	20.06.00	1	21.06.00	1	27.01.00	1	22.06.00	1	18.08.00	1
07.08.00	1	27.06.00	1	05.07.00	1	03.07.00	1	02.02.00	1	03.07.00	1	24.08.00	1
09.08.00	1	06.09.00	1	01.08.00	1	23.08.00	1	03.02.00	1	20.07.00	1	04.09.00	1
11.08.00	2	13.09.00	1	14.06.00	1	15.09.00	1	21.03.00	1	06.09.00	1	15.09.00	1
16.08.00	1	02.10.00	1	18.10.00	1	21.09.00	1	06.05.00	1	22.11.00	1	25.09.00	1
04.11.00	1	06.10.00	1	15.11.00	1	09.10.00	1	08.06.00	1	23.01.00	2	10.10.00	1
10.11.00	1	09.10.00	1	22.11.00	1	04.11.00	1	06.07.00	1	27.11.00	1	12.10.00	1
23.11.00	1	27.11.00	1	23.11.00	1	23.11.00	1	04.09.00	1	28.11.00	2	01.11.00	1
		28.11.00	1	28.11.00	1	28.11.00	1		1			04.11.00	1
Итого:	12	Итого:	12	Итого:	12	Итого:	12	Итого:	12	Итого:	13	Итого:	14

Но именно ранговое распределение по параметру и даёт возможность говорить об оптимальности, эффективности ценоза в целом. Следующий шаг не во вне, а внутрь – исследование структуры изделий по повторяемости видовым и ранговидовым распределениями.

Так я говорю об обязательности исследования структуры по параметрам в ряду других ценозов и структуры единичного ценоза, не рассматривая здесь проблему его выделения.

Если обратиться к Н-распределению по параметру и рассматривать отдельный из системы существенных показателей, связав его с другим, определяющим (например, расход электроэнергии на плавку с технологическим – объём плавки), то переходя ко времени, можно получить 100, 1000 наблюдений и более. В качестве единицы могут быть взяты обычные: минута, час, смена, сутки, неделя, месяц, квартал, год; а могут быть и технологические единицы, например, одна плавка.

В том и другом случае технические науки считают, что можно точно получить норму и другой технический параметр. И под этим утверждением могут подписаться и физик, и инженер: чтобы расплавить 1 т стального лома, нужно 340 кВтч, меньше не разрешают законы сохранения. А тратят-то обычно в среднем 550 кВтч/т (сюда входят тепловые потери и проч.). Но это в среднем, фактически же есть ценологические выбросы, которые могут в разы отличать удельную норму от рассчитанных по Гауссу. Количественно это 5-10% случаев (при жёсткой организации – до 0,1-1%), когда есть отклонения от нормального технологического хода процессов. Их я и называю ценологическими (практическая бесконечность по удельным расходам: процесс закончился, а продукции нет – брак, или, например, «ушёл» металл).

Тогда возникает вопрос об оценке нормального и негауссова процессов. Нормальное (гауссово) распределение имеет плотность вероятности

(72)

где μ – математическое ожидание и дисперсия σ² есть параметры случайной величины для области значение - ∞<x<+∞.

Математическое ожидание в технических науках – это среднее арифметическое, частота (статистическая вероятность), которая для дискретных и непрерывных величин соответственно записывается

(73)

На рис.10 приведена модель К-разности, включающая пример нормального распределения 266 наблюдений, разбитых на 14 интервалов (табл.10). Чётность интервалов и симметрия позволяют говорить о совпадении значений математического ожидания μ, моды и медианы m.

 

 

 

 

Таблица 10

№	Левая граница разряда	Правая граница разряда	Относительная частота попадания	Количество показаний
				теоретическое	фактическое
1	-3,000	-2,571	0,0037	0,9842	1
2	-2,571	-2,143	0,0110	2,9260	3
3	-2,143	-1,714	0,0252	6,7032	6
4	-1,714	-1,286	0,0560	14,8961	15
5	-1,286	-0,857	0,0964	25,6424	26
6	-0,857	-0,429	0,1384	36,8144	37
7	-0,429	0,000	0,1689	44,9274	45
8	0,000	0,429	0,1689	44,9274	45
9	0,429	0,857	0,1384	36,8144	37
10	0,857	1,286	0,0964	25,6424	26
11	1,286	1,714	0,0560	14,8961	15
12	1,714	2,143	0,0252	6,7032	6
13	2,143	2,571	0,0110	2,9260	3
14	2,571	3,000	0,0037	0,9842	1
Сумма			0,9992	265,79	266

 

Обратимся к свойствам медианы. Геометрическая медиана – это абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения, делится пополам. Тогда для действительной случайной величины с функцией распределения F(x) медианой называют число m, которое удовлетворяет условиям

и .

(74)

Отметим существование неравенств Леви для распределения сумм независимых случайных величин, центрированных соответствующими медианами, и обратимся к рис.10 и табл.11. Предложим модель пошаговой последовательности увеличения ценологической составляющей для иллюстрации К-разности (разности между математическим ожиданием нормального распределения и математическим ожиданием  распределения «деформированного» ценологически).

Таблица 11.

Пусть произошло какое-то ценологическое воздействие такое, что одно из наблюдений «а» стало характеризоваться не интервальным значением параметра, соответствующим интервалу 8, а иным. Если всё происходит в рамках Гаусса, то «а» не может переместиться дальше интервала 14, но занятость интервала заставляет переместить «а» в интервал 15. В табл.11 это вторая строчка (в зеркальной распечатке). Полный процесс итерации заканчивается, когда единичное наблюдение «б» переместится на последнее 133 (140) место (рис.10). Каждое перемещение фиксирует увеличение потребления ресурса, считая в данном случае предельным равномерное распределение со средним μ_с=(1+133)/2=67.

Заметим, что наше преобразование не изменило местоположения медианы (74), но изменило среднее, которое уже не определяется (72) и (73). Если считать, что существовала норма (считающаяся оптимальной) и эта норма есть математическое ожидание μ_н, совпадающее с медианой - m_н, то предлагаемый мною алгоритм меняет картину: среднее начинает смещаться.

По существу можно говорить о ценологической К-разности:

(75)

Сформулируем К-разность следующим образом.

Оценка ценологической составляющей гиперболического Н-распределения по параметру есть разность медианы нормального распределения и математического ожидания деформируемого распределения, в пределе равномерного.

Представляя Н-распределения и говоря о концептуальном значении термина техноценоз, составившего основу технетики – науки о технической реальности, я не употреблял синергетические понятия [111,112], хотя это и есть то, чем я занимаюсь с 1971 г. (сформулировав в 1973 г. гипотезу о закономерностях эволюции технического, в 1976 г. – закон информационного отбора, в 1981 г. – законы техноэволюции).

Синергетический подход [25-28] опирается на ключевое понятие разнообразия, мною изучаемое, и энтропию (см. работы моей школы: Гнатюка В.И., Фуфаева В.В., Жилина Б.В.). Для ценоза (а ценоз – синергетический объект) порядок более естествен, чем хаос; этот порядок обеспечивается информационно через физические процессы; увеличение разнообразия увеличивает устойчивость системы; изоляция ценоза останавливает развитие; конкуренция повышает эффективность отбора.

По существу, синергетический подход дополняет первую научную картину мира, которая предполагает, что хаос более естествен, чем порядок; поведение системы определено полностью и однозначно начальными условиями; поддержание порядка требует затрат энергии и изоляции от внешних воздействий; структура системы задаётся извне; при изучении физических процессов и их осуществлении информационная составляющая не определяюща; единообразие эффективнее разнообразия, унификация и стандартизация – основа технического развития.

 

Выводы

1. Ценологические представления, опирающиеся на одновременность выделения элемента-особи, введения родо-видовой классификации, формализованного описания ценозов, есть отражение третьей научной картины мира.

2. Частотными представлениями Ципфа как моделью пользоваться не следует из-за утраты информации по длине текста и объёму словаря.

3. Существует приоритетная естественность видового Н-распределения перед ранговидовым, допускающим свёртку. Аналитически характеристические показатели α и β один из другого не выводятся.

4. Сравнение ценозов достовернее, если использовать обобщающие показатели, идентифицирующие Н-распределение лучше, чем характеристический показатель α и первая точка.

5. Видовое Н-распределение модельно представимо пойнтер-точкой R, которая ограничивает гиперболическую область, позволяет описывать структуру ценозов значением R и числом каст К, накладывая ограничения на объём ценоза 2R.

6. Однозначно определяет гиперболическое Н-распределение модель простых чисел, заключающаяся в разложении на простые сомножители факториала натурального числа такого, что количество простых чисел в факториале равно числу видов ценоза.

7. Видовое Н-распределение, выстраиваемое до точки R, имеет всплески и провалы (зубцы), которые не случайны, а закономерно обязательны, как и неравномерность расстояний между саранчёвыми кастами после точки R.

 

 

Литература

 

1.     Электрификация металлургических предприятий Сибири / Под общ. ред. И.Д.Кутявина, Р.И.Борисова, Б.И.Кудрина. – Томск: Изд-во ТГУ, 1971. – 216 с.

2.     Кудрин Б.И. Организация, построение и управление электрическим хозяйством промышленных предприятий на основе теории больших систем: Дис. … докт. техн. наук по спец. 05.14.06 – Электрические системы и управление ими. – Томск: Томск. политех. ин-т, 1976. – 452 с.

3.      Кудрин Б.И. Введение в науку о технической реальности: Автореф. дис. в форме науч. доклада …докт. филос. наук по спец. 0941.00.08 – Философия науки и техники. – СПб: СПб. гос. ун-т, 1996. – 40 с.

4.       Математическое описание ценозов и закономерности технетики /Доклады Первой междунар. конф., 24–26 янв. 1996, Новомосковск Тульский/ Философия и становление технетики. /Ред. и сост. Б.И.Кудрин. – Абакан: Центр системных исследований, 1996. – 452 с. (Ценологические исследования. Вып. 1 и вып. 2).

5.      Авдеев В.А., Кудрин Б.И. Советская школа проектирования чёрной металлургии. – М.: Машиностроение, 2000. – 416 с.

6.      Авдеев В.А., Друян В.М., Кудрин Б.И. Основы проектирования металлургических заводов: Справ. изд-е. – М.: Интермет Инжиниринг, 2002. – 464 с.

7.      Никифоров Г.В., Заславец Б.И. Энергосбережение на металлургических предприятиях. – Магнитогорск: МГТУ, 2000. – 283 с.

8.      Авдеев В.А., Кудрин Б.И., Якимов А.Е. Информационный банк «Черметэлектро». – М.: Электрика, 1995. – 400 с.

9.      Кудрин Б.И. Введение в технетику. – Томск: Изд-во ТГУ, 1991. – 384 с.

10. Кудрин Б.И. Античность. Символизм. Технетика. – М.: Электрика, 1995. – 120 с.

11.  Гнатюк В.И. Оптимальное построение техноценозов: Теория и практика. Ценологические исследования. Вып. 9. – М.: Центр системных исследований, 1999. – 272 с.

12. Фуфаев В.В. Ценологическое определение параметров электропотребления, надежности, монтажа и ремонта электрооборудования предприятий региона. – М.: Центр системных исследований, 2000. – 320 с.

13. Указания и нормы технологического проектирования и технико-экономические показатели электрохозяйства предприятий чёрной металлургии. Металлургические заводы. – Т. 7. Электрохозяйство. ВНТП 1-31-80. МЧМ СССР, 1981. – 123 с.

14. Указания и нормы технологического проектирования и технико-экономические показатели электрохозяйства предприятий чёрной металлургии. Металлургические заводы. – Т. 8. Электроремонт. ВНТП 1-32-80. МЧМ СССР, 1981. – 56 с.

15. Указания по проектированию электрохозяйств металлургических заводов. ОРД 14.370-36-86. – М.: Гипромез, 1987. – 68 с.

16. Указания по проектированию электроремонтного хозяйства предприятий чёрной металлургии. ОРД 14.370-48.87. – М.: Гипромез, 1987. – 37 с.

17. Кудрин Б.И. Ремонт и обслуживание электротехнического оборудования заводов чёрной металлургии // Промышленная энергетика. 1979. № 11. – С. 31–35.

18. Кудрин Б.И. Электроремонт на Оскольском электрометаллургическом комбинате // Промышленная энергетика, 1980, № 5. – С. 23–28.

19. Астратов Р.Г., Кудрин Б.И. О проектировании электроремонтного хозяйства металлургических заводов // Промышленная энергетика, 1972, № 3. – С. 34–36.

20. Кудрин Б.И. О некоторых вопросах теротехнологии электрического хозяйства крупных промышленных предприятий. – Томск: Изд-во ТГУ, 1976. – С. 97–145. (Электрификация металлургических предприятий Сибири. Вып. 3).

21. Кудрин Б.И. Электроэнергетика черной металлургии (передовая статья) // Сталь, 1979, № 10. – С. 730–734.

22. Кудрин Б.И. Электрика как развитие электротехники и электроэнергетики. – 3-е изд. – Томск: Изд-во ТГУ, 1998. – 40 с.

23. Кудрин Б.И., Фуфаев В.В. Статистические таблицы временных рядов Н-распределений электрооборудования и электропотребления. – Т. 1. Электрооборудование. – Абакан: Центр системных исследований, 1999. – 352 с. (Ценологические исследования. Вып. 13.).

24. Кудрин Б.И. Закономерности построения, функционирования и развития систем электропотребления промышленных предприятий и закономерности технетики: Программа для студентов технических и гуманитарных университетов и переподготовки инженеров по направлениям «Электроэнергетика» и «Электромеханика». – Томск: Изд-во ТГУ, 1997. – 276 с. (Электрификация металлургических предприятий Сибири. Вып. 7).

25. Пригожин И., Степчук И. Время, хаос, квант: К решению парадокса времени. – М.: Эдиториал УРСС, 2000. – 240 с.

26. Глейк Дж. Хаос: Создание новой науки. – СПб : Амфора, 2001. – 398 с.

27. Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы: Миниатюры из бесконечного рая. – Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. – 528 с.

28. Чайковский Ю.В. О природе случайности.– М.: Центр системных исследований; Институт истории естествознания и техники РАН, 2001. – 272 с. (Ценологические исследования. Вып. 18).

29. Кудрин Б.И. Техноценозы и стандартизация // Стандарты и качество, 1993 № 12. – С. 49–56.

30. Fisher R.A., Corbet A.S., Williams C.D. The relation between the number of species and the number of individuals in a random sample of an animal population. – Journal of Animal Ecology, 1943, No. 12. - P. 42–58.

31. Williams C.B. Patterns in the balance of nature, and the related problems in quantitative ecology. – L. and N.Y.: Academic Press, 1964. – 324 p.

32. Кудрин Б.И. Распределение электрических машин по повторяемости как некоторая закономерность. – Томск: Изд-во ТГУ, 1974. – С. 31–40. (Электрификация металлургических предприятий Сибири/ Вып.2).

33. Одум Ю. Основы экологии. – М.: Мир, 1975. – 740 с.

34. Бреховских С.М., Прасолов А.П., Солинов В.Ф. Функциональная компьютерная систематика материалов, машин, изделий и технологий. – М.: Машиностроение, 1955. – 552 с.

35. Кудрин Б.И. Электроснабжение промышленных предприятий: Учебник для вузов. – М.: Энергоатомиздат, 1995. – 416 с.

36. Чайковский Ю.В. Элементы эволюционной диатропики. – М.: Наука, 1990. – 272 с.

37. Кудрин Б.И. Классическая электротехника и системное описание электрического хозяйства промышленных предприятий - Томск: Изд-во ТГУ, 1981. – 286 с. (Электрификация металлургических предприятий Сибири. Вып. 5).

38. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. – М.: Наука, 1976. – 286 с.

39. Кудрин Б.И. Технетика: новая парадигма философии техники (третья научная картина мира). – Томск: Изд-во ТГУ, 1998. – 40 с.

40. Кудрин Б.И., Розин В.М. Разговор технария и гуманитария в поезде «Лена–Москва» о философии техники и не только о ней. – 2-е изд., испр. – М.: Электрика, 2000. – 32 с.

41. Политехнический словарь. – М.: Советская энциклопедия, 1976. – 608 с.

42. Новейший философский словарь.– Мн.: Изд. В.М.Скакун, 1998. – 896 с.

43. Bertalanffy L. Allgemeine Systemtheorie. – Deutsche Universutätszeitung, 1967, H. 12, N 5–6.

44. Акофф Р., Эмери Ф. О целеустремленных системах. – М.: Советское радио, 1974.

45. Тода М., Шуфорд Э.Х. Логика систем: введение в формульную теорию структуры / В кн.: Исследования по общей теории систем. – М.: Прогресс, 1969.

46. Садовский В., Юдин Э. Задачи, методы и приложения общей теории систем / В кн.: Исследования по общей теории систем. – М.: Прогресс, 1969.

47. Кудрин Б.И., Жилин Б.В., Лагуткин О.Е., Ошурков М.Г. Ценологическое определение параметров электропотребления многономенклатурных производств. – Тула: Приок. кн. изд-во, 1994. – 122 с.

48. Марченко Ю.Н. Основы управления множественными объектами. (Ценологические исследования. Вып. 22– М.: Центр системных исследований, 2002. – 128 с.).

49. Зайцев Г.З., Божков М.И. Техноценологический взгляд на электрификацию жилья и быта // Электрика, 2002, № 11. – С. 38–41.

50. Винер Н. Кибернетика. – М.: Советское радио. – 326 с.

51. Zipf J.K. Human behaviour and the principle of least effort. – Cambridge (Mass.): Addison-Wesley Press, 1949, XI. – 574 p.

52. Mandelbrot B. Les objects fractals: forme, hasard et dimension. – Paris: Flammarion, 1975. – 192 p.

53. Математические методы в социальных науках. – М.: Прогресс, 1973. – 351 с.

54. Хайтун С.Д. Наукометрия: Состояние и перспективы. – М.: Наука, 1983. – 344 с.

55. Хайтун С.Д. Проблемы количественного анализа науки. – М.: Наука, 1989. – 280 с.

56. Хайтун С.Д. Мои идеи. – М.: Изд-во «Агар». – 240 с.

57. Арапов М.В., Ефимов Е.Н., Шрейдер Ю.А. О смысле ранговых распределений // Научно-техническая информация. Сер. 2. № 1, 1975. – С. 9–20.

58. Яблонский А.И. Математические модели в исследовании науки. – М,: Наука, 1986. – 352 с.

59. Willis J.C. Age and Are. – London: Cambridge University Press, 1922.

60. Yule J.U. A mathematical theory of evolution, based on the conclusions of Dr. J.C.Williams, FRC // Philos. Transact. R.S. Ser. B. – London, 1924, vol. 213. – P. 21–87.

61. Watterson J.A. Models for the Logarithmic Species Ambudance Distributions // Theoretical Population Biology, 1974, No. 6. – P. 217–250.

62. Watson H.S. Cybele Britannica, 1859.

63. Wallance A.R. The World of Life. – London, 1910.

64. Kirby W.A. A Synonymic Catalogue of the Orthoptera. – London: British Museum, 1904, vol. 1.

65. Pareto V. Cours d’économic politique. P., 1897.

66. Lotka A. The frequency distribution of scientific productivity // J. Wash. Acad. Sci., 1926, vol. 16. – P. 317–323.

67. Петров В.М., Яблонский А.И. Математика и социальные процессы: гиперболические распределения и их применение. М.: Знание, 1980. – 64 с.

68. Ланге О. Введение в эконометрику. – М.: Прогресс, 1964. – 295 с.

69. Хастингс Н., Пикок Дж. Справочник по статистическим распределениям. – М.: Статистика, 1980. – 95 с.

70. Орлов Ю.К. Обобщённый закон Ципфа-Мандельброта и частотные структуры информационных единиц различных уровней // Вычислительная лингвистика. – М.: Наука, 1976. – С. 179–202.

71. Орлов Ю.К. Динамика ранговых распределений и проблема статистики редких событий // Электрика, 2001, № 8. – С. 22–31.

72. Кудрин Б.И. Зачем электрику рейтинг? // Электрика, 2001, № 8. – С. 3–11.

73. Гнатюк В.И. Ранговый анализ техноценозов // Электрика, 2001, № 8. – С. 14–22.

74. Фуфаев В.В. Рангово-интервальный структурно-топологический анализ ценозов // Электрика, 2001, № 8. – С. 22–31.

75. Лагуткин О.Е. Ценологическая методика ранговых Н-распределений // Электрика, 2001, № 8. – С. 31–39.

76. Шрейдер Ю.А. Ранговые распределения как системное свойство / Математическое описание ценозов и закономерности технетики / Философия и становление технетики. – Абакан: Центр системных исследований, 1996. – С. 33–42.

77. Арапов М.В., Ефимов Е.Н., Шрейдер Ю.А. Ранговые распределения в тексте и языке // Научно-техническая информация. Сер. 2. 1975. №2. – С. 3–7.

78. Кудрин Б.И. Отбор: энергетический, естественный, информационный, документальный. Общность и специфика. – Томск: Изд-во ТГУ, 1981. – С. 111–187. (Электрификация металлургических предприятий Сибири. Вып. 5).

79. Hill Bruce M., Woodroofe Michael. Stronger forms of Zipf’s law // Journal of American Statistical Association, 1975, vol. 70, No. 349. – P. 212–219.

80. Частотный словарь русского языка. – М.: Русский язык, 1977. – 936 с.

81. Лермонтовская энциклопедия. – М.: Советская энциклопедия, 1981. – 784 с.

82. Золотарев В.М. Одномерные устойчивые распределения. – М.: Наука. – 304 с.

83. Курс экономической теории. – Киров: Аса, 1995. – 624 с.

84. Кюн Ю. Описательная и индуктивная статистика. – М.: Финансы и статистика, 1981. – 144 с.

85. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и её приложения. Т. 2. – М.: Мир, 1984. – 738 с.

86. Кудрин Б.И. Применение понятий биологии для описания и прогнозирования больших систем, формирующихся технологически. – Томск: Изд-во ТГУ, 1976. – С. 171–204. (Электрификация металлургических предприятий Сибири. Вып. 3).

87. Кудрин Б.И. Исследования технических систем как сообществ изделий – техноценозов // Системные исследования. Методологические проблемы: Ежегодник. 1980. – М.: Наука, 1981. – С. 236–255.

88. Кудрин Б.И. Научно-технический прогресс и формирование техноценозов // ЭКО: Экономика и организация промышленного производства, 1980, № 8. – С. 15–29.

89. Кудрин Б.И. Третья научная картина мира // Мост: Журнал для промышленников, 1999, № 30. – С. 46–48.

90. Кудрин Б.И. Электрика: вступая в тысячелетие // Электрика, 2001, № 1. – С. 2–5.

91. Любищев А.А. Линии Демокрита и Платона в истории культуры / Сост., ред., предисл., заключ. ст. Б.И.Кудрина. – М.: Электрика, 1997. – 408 с.

92. Кудрин Б.И. Зачем технарию Платон: Постклассическое видение философии техники. – М.: Электрика, 1996. – 216 с.

93. Гнеденко Б.В., Колмогоров А.Н. Предельные распределения для сумм независимых случайных величин. – М.–Л.: Гостехтеориздат, 1949. – 264 с.

94. Гнеденко Б.В. К теории областей притяжения устойчивых законов // Учёные записки МГУ, 30, 1939. – С. 61–82.

95. Хинчин А.Я. Асимптотические законы теории вероятностей. - М.: ОНТИ, 1936. - 96 с.

96. Прохоров Ю.В., Розанов Ю.А. Теория вероятностей: Основные понятия. Предельные теоремы. Случайные процессы. – М.: Наука, 1973. – 496 с.

97. Гнеденко Б.В. О сходимости законов распределения сумм независимых слагаемых // ДАН, 1938, 18, № 4–5. – С. 231–234.

98. Хинчин А.Я. Предельные законы для сумм независимых случайных величин. – М.–Л.: ОНТИ, 1938. – 116 с.

99. Гнеденко Б.В. Элементы теории функций распределения случайных величин // Успехи мат. наук. Вып. 10. – М.–Л.: ОГИЗ, 1944. – С. 230–244.

100.    Гнеденко Б.В. Предельные законы для сумм независимых случайных величин // Успехи мат. наук. Вып. 10. – М.–Л.: ОГИЗ, 1944. – С. 115–165.

101.    Бернштейн С.Н. Распространение предельной теоремы теории вероятностей на суммы зависимых величин // Успехи мат. наук. Вып. 10. – М.–Л.: ОГИЗ, 1944. – С. 35–114.

102.    Мизес Р. Вероятность и статистика. – М.–Л., 1930.

103.    Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. – М.–Л., 1936; М., 1974.

104.    Варнавский Б.П. Кудрин Б.И. Проблемы оценки эффективности использования электрической энергии // Промышленная энергетика, 1994. № 12. – С. 2–7.

105.    Кудрин Б.И. Философские основания преподавания электротехнических и электроэнергетических дисциплин в условиях перехода России к постиндустриальной (информационной) формации. – Томск: Изд-во Том. ун-та, 2001. – С.212-220. (Электрификация металлургических предприятий Сибири. Вып.10.)

106.    Золотарёв В.М. Современная теория суммирования независимых случайных величин. – М.: Наука. – 416 с.

107.    Петров В.В. Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин. – М.: Наука, 1987. – 320 с.

108.    Кудрин Б.И. Выделение и описание электрических ценозов // Изв. вузов. Электромеханика, 1985, №7. С.49054.

109.    Кудрин Б.И., Фуфаев В.В. Модель управления структурой электрических ценозов// Изв. вузов. Электромеханика, 1989, №11. С.106-110.

110.    Электроэффективность: ежегодный рейтинг российских регионов по электропотреблению за 1990-1999 гг. // Электрика, 2001, №6. С.3-12.

111.    Капица С.П., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г. Синергетика и прогнозы будущего. М.: Эдиториан УРСС, 2001. – 288 с.

112.    Хорган Дж. Конец науки: Взгляд на ограниченность знания на закате Века Науки. – СПб.: Амфора, 2001. – 479 с.