/ Не новые новости. Вып. 55. «Ценологические исследования» - М.: Технетика, 2015. - С. 137-157. ISBN 978-5-902926-33-7

 

 

 

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ

ОБЩЕЙ И ПРИКЛАДНОЙ ЦЕНОЛОГИИ

И ФИЛОСОФСКОЕ ОСМЫСЛЕНИЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНОСТИ ПРИРОДНОГО ЗАКОНА ГИПЕРБОЛИЧНОСТИ ВИДОВОГО

И РАНГОВОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЙ

Б. И. Кудрин

coenose@rambler.ru

 

Сформулированы свойства ценоза и предложены две Н-модели для дискретных и одна – для непрерывных величин, имеющих в основе пойнтер-точку R и факториал, где вид – простое число. Предложено три теоремы. На примерах каждой из материальных (физическая, биологическая, техническая) и идеальных (информационная, социальная) реальностей утверждается фундаментальность видовой и ранговый гиперболичности для структурного описания любого и каждого ценоза. Пояснены понятия "техническая особь", "технический вид", "техноценоз". Концептуально обосновывается естественное порождение физикой – биологии, биологией – технетики. Приведены постулаты классической (Ньютона–Максвелла), постклассической (вероятно-статистической), постнеклассической (ценологической) научных картин мира.

 

Mathematical apparatus for general and applicational cenology and philosophical conception of fundamental character of natural low of species and range distribution hyperbolicity

B. I. Kudrin

 

Here are formulated the properties of cenoses and H-models are offered: two – for discrete and one – for undiscrete quantities having in their base an indicator-point R and a factorial, where species is a simple number. Three theorems are offered. By means of examples eachone of material (physical, biological, technical) and ideal (informational, social) realities the fundamental character of species and range hyperbolity for structural description of any and every cenosis is confirmed. The meanings of technical individual, technical species, technocenosis are explained. The natural appearance of physical biology and biological technetics are conceptionaly substantiated. The postulates of scientific world pictures – classical, postclassical, postnonclassical (cenologotechnetical) are presented.

 

В настоящей статье сделана попытка философски осмыслить третью научную картину мира, показав необходимость использования математического аппарата с уточнением его истолкования и предложением трёх теорем. Показано, что ценоз в целом есть объект непознаваемый, а его структурное описание лишь называет некоторые параметры, которые к точке неприменимы из-за отсутствия математического ожидания и бесконечной дисперсии.

Онтологически и гносеологически рассмотрим статистическую закономерность устройства структуры сообществ "элементов-штук-особей" разных видов как ценоз (coenose гр.; cénose, фр; cenosis, англ.), используя понятия ценология (cenology), ценологические исследования, ценологический анализ, ценологическое мировоззрение (cenogenesis) и опираясь на природную фундаментальность разнообразия и соотношение "крупное-мелкое" для любой и каждой антропно воспринимаемой материальной (физическая, биологическая, техническая) и идеальной (информационная, социальной) реальностей.

Сделаем шаг вслед за физикой Аристотеля–Ньютона–Максвелла и биологией Анаксимандра–Ламарка–Дарвина, предложив неологизм "технетика"[1] для науки о технической реальности, опираясь на монографию 1991[2] и Первую Междунар. конф. 1996 г.[3], осуществившую философское осмысление понятия.

Напомним, что Homo sapiens овладел изготовлением 2,5 млн лет назад 80-и видов предметов-изделий (М. Лики, Ф. Борд), частично стандартизированных, выполняя каждую штуку-особь (орудийной) техники по своей технологии; из камня, кости, дерева, растений, получая продукцию конечного потребления, пренебрегая отходами и живя в некотором сообществе сделанного.

Мы сознательно ограничиваем исследования и философское осмысление результатов областью человеческих ощущений, чувств, восприятий на уровне атомно-молекулярного мира и десятка устойчивых элементарных частиц, известных с 30-х годов прошлого века. Квантовая статистика меняет картину мира, но мы рассматриваем лишь различные макроскопические объекты.

Используем вначале познавательные практически-творческие способности индивида для интуитивного одномоментного и однозначного субъективного триединого выделения: собственно ценоза; единичной элементарной далее неделимой штуки-особи; каждая из которых классифицируется по видовым признакам или по определяющему параметру.

Начнём с примеров. Физика: Распределение малых космических тел по массам; Земная кора и минералы, её образующие, по встречаемости; месторождение и его процентный элементный состав. Биология: Опушка леса и её заселение; Видовое разнообразие биоценозов J. Garthside, W. Kirby, Da Costo Lima, G.A. Waterhause, C.R. Hathway4[4] сравнено с распределением 27632 штук электродвигателей-особей (unus) по 5618 типоразмерам-видам (species) в выборке 1967–1971 годов по 12 заводам-техноценозам и показало идентичность математического аппарата Н(аш)-распределения[5]; Распределение организмов океана по массам. Технетика: Отрасль и прокатные станы за 21 год; Российская Федерация и электропотребление каждого региона за 25 лет; подбор патронов для стрельбы на высшем уровне. Информационная реальность: Учёные страны и цитируемость; "Евгений Онегин" и частота словоупотреблений; Ботвинник и число партий, сыгранных с соперниками. Социальное: Скандинавия и распределение доходов граждан; Англия и всеобщая поземельная перепись 1086 года; Экономика мира и инвестиционная привлекательность России[6]; www//kudrinbi.ru: Новости.

Рефлексируя относительно приведённых фактов и гносеологически выделяя общее, я рассматриваю техническое, с одной стороны, как целостность, с другой – как нечто, представляемое рядом специфических сущностей, к которым можно отнести: создаваемую и эксплуатируемую технику, разрабатываемую и применяемую технологию, получаемые и используемые материалы, производимую и потребляемую продукцию, возникающие и (надо полагать) перерабатываемые отходы, сбросы, выбросы (техническая экология). Каждая из сущностей изучаема как техноценоз на основе проектов и статистики, включающей тысячу выборок, 2,5 млн единиц-штук-процессов-особей, анализируемых в 1967–2003 годах (до одобрения ВАК ценологических исследований как нового научного направления), и сейчас пополняемую сложившейся ценологической школой в докладах на ежегодных ценологических конференциях.

Понятийно обобщим примеры, ограничившись, для удобства дальнейшего рассмотрения, основной математической моделью технетики, восходящих к Гнеденко[7] и Колмогорову[8], её сущностях, техноценозе[9] – ключевом объекте исследования.

Определим техноценоз как сообщество изделий конвенционно выделенного объекта; множество элементов-изделий, характеризующееся слабыми связями и слабыми взаимодействиями; система техногенного происхождения, рассматриваемая как сообщество классифицируемых по видам единиц техники, технологии, материала, продукции, отходов, и выделяемая административно-территориально для целей инвестиционного проектирования, построения (сооружение, монтаж, наладка), обеспечения функционирования (эксплуатация, ремонт, модернизация), управления (менеджмент).

Термин "техноценоз" (1976), наряду с десятком других определений и понятий, мною введённых в русский язык[10] гносеологически опирается на биоценоз Мёбиуса (1877), экологию Геккеля (1866), экосистему Тенсли (1931), биогеоценоз Сукачёва (1940), тихогенез Дарвина, номогенез Берга, кибернетическую схему эволюции Шмальгаузена[11], и потребовал уточнения понятия "технический вид".

В технетике технический вид есть основное понятие классификации, служащее для выражения отношений между техническими классами при разбиении их на семейства (трансформаторы, прокатные станы) и роды (и более крупные таксоны). Вид изделия – структурная единица в систематике изделий: изделия двух разных видов отличаются количественной и обязательно качественной характеристиками; изделия одного вида изготавливают по одной проектно-конструкторской документации. К общим признакам вида относятся: определённая численность, тип организации, способность в процессе работы и воспроизводства сохранять качественную определённость, дискретность; экологическая, экономическая и географическая определённость; устойчивость, целостность (не различают в отдельных случаях вид и понятия: наименование, название, типоразмер, проба, образец, модель, сортамент, марка, артикул, выпуск, тип, профиль). Понятие технического вида требует обобщения понятия "изделие", заключающегося в распространении его на все составляющие технетики. Так, уместны и отражают сущность выражения: вид техники, вид технологии, вид материала, вид продукции, вид отходов.

Существенно, что вид есть продукт первой научной картины мира (организмоцентрический взгляд), где отсутствует наблюдатель. Субъекту просто нет места в формулах механики, теоретических основ электротехники, в большинстве других технических наук. В физике действует чрезвычайно общий принцип наименьшего действия, реализующий, в нашей формулировке, энергетический отбор. Принцип утверждает, что действительные движения выделяются из всех мыслимых условием, что для них действие принимает экстремальное значение. Вариационные принципы классической механики широко известны и изучаются технариями любой специальности, они канонизированы в словарях.

Перечислим свойства (техно)ценоза как сообщества технических видов, принципиально отличающие его от отдельного изделия штуки-особи любой из сущностей технетики.

Прежде всего отметим физическую (как тела) невыделяемость города или завода и своеобразную неуничтожимость: нельзя техноценоз как торт – перенести, как автомобиль – угнать, как электродвигатель – отключить и заменить. Да, Карфаген был разрушен, Хиросима уничтожена, Москва сожжена, но нечто неформализуемое остаётся и лишь дополняется целью, определяемой при классификации по видовым признакам или по определяющему параметру предприятий промышленности и малого бизнеса, организаций медицины или образования.

Существенна размытость, неопределённость границ техноценоза, определяемая лишь конвенционно, но всегда (сейчас) требующая документального оформления. Генплан предприятия и города, даже при их стабильности, заполнен сетями и сооружениями других собственников, а своих сетей и инфраструктуры, согласованной и не согласованной, сколь угодно много и далеко вплоть до зарубежья.

С неопределённостью связано свойство бесконечности, практической счётности элементов-единиц-штук-особей, образующих техноценоз. Используя квадратичную зависимость (см. далее), мы называем 1016 сущностных видов технетики, выпускавшихся, выпускаемых, разрабатываемых, называя это, вообще говоря, пределом развития цивилизации. Примеры сегодняшнего: в квартире доцента Санкт-Петербурга 140 видов-вещей (штук много больше), требующих электрического питания[12] [11]. Общее количество изделий, составляющих электрическое хозяйство Магнитогорского комбината – 1010, самого комбината – 1011, включая технологию и сортамент выпускаемого.

Непредсказуемость появления и исчезновения из ценоза конкретной (одной или нескольких) штук-особей на момент учёта, а сам момент традиционен или произволен, может быть существенно изменён в документальном оформлении.

Наконец, техноценоз не система (ни кибернетическая, ни "большая"). Всё множество элементов-особей техноценоза связано слабыми корреляционно незначимыми связями и взаимодействиями. Вход, выход, обратная связь отсутствуют или выражены неявно. Управляющее воздействие "не привязано", задерживается, "размазывается", стареет. Следует учитывать, что 5 % особей обычно всё же имеют связи, иногда жёстко функциональные.

Говоря о показателях, выделяющих ценоз (вне зависимости от их вербального или формализованного представления), следует иметь в виду: 1) ценоз не может быть адекватно описан системой показателей, любая система – не чёткая и не полная, увеличение количества показателей и кажущееся повышение точности (достоверности) каждого не приближает или мало приближает к самомý акту выделения ценоза; 2) два ценоза, описанных одной системой показателей, совпадающих в пределах точности, принятой для данного класса измерений, могут различаться по существу (другими характеристиками, параметрами, представлениями) сколь угодно сильно; 3) ценологическое время – время феноменологическое; оно необратимо; ценоз, даже описываемый не изменившимися качественно и количественно показателями, через время Δt уже иной; но это время t<Δt не измеряется малыми промежутками (для одного ценоза – секундами, для другого – годами), а сравнимо по порядку со временем жизни особей тех видов, что группируются вокруг пойнтер-точки R (о ней – далее); 4) ценологическая фрактальность проявляется вложенностью ценозов такой, что она иерархически ограничена 5–7 уровнями (в частности, для технетики: участок, отделение (агрегат), цех, производство, предприятие, отрасль); 5) ценологическое пространство неоднородно, нужномерно, в отличие от конечного евклидова или неевклидовых геометрий.

Исследование ценоза как целостности предполагает его системное описание словесно и иерархической практически разумной системой показателей (что обязательно для выделения ценоза как такового), а затем выполнение структурного ценологического анализа, полагая, что ценологические представления есть новая ступень познания, гносеологически опирающаяся на третью постнеклассическую научную картину мира. Необходимое формализованное описание ценоза (и реализации модели, как это сделано для технической реальности) должно быть сделано до идентификации элементов-особей. Идентификация же предполагает возможность классифицировать особи: 1) по видовым признакам (как у Линнея), дискретизируя тем самым элементы-особи, или 2) по параметру, непрерывным рядом на отрезке, характеризующем все особи (отметим факт: рост людей, расход горючего на 100 км – гауссовы; потребление ресурса предприятиями одной отрасли или регионами в целом по России – негауссово и математически определяется бесконечно делимыми гиперболическими H-распределениями).

Необходимо рассмотрение некоторого синонимического примера элементарного, понимая под этим неделимость, восходящую к Демокриту: элемент – единица – штука – особь – индивид – индивидуальность. Налицо некоторое смысловое изменение значения элементарное в сторону большей содержательности: элемент-то элемент, но не совсем элементарен – есть ещё свойства, которые следует учитывать. Конкретизируем элемент для технического при ценологических исследованиях: гвоздь, болт, крыльчатка, подшипник, вал, двигатель, редуктор, агрегат, кран, …, рабочая клеть, прокатный стан, прокатный цех, прокатное производство, прокатный завод, прокат страны, мировое производство проката.

Для случая, когда особь выделяема и различаема по видовой принадлежности, основой ценологической методологии исследования являются математические модели структуры, опирающиеся на гиперболические H-распределения в видовой, ранговидовой и ранговой по параметру формах. Используется[13] практическая важность того[14], что для устойчивых распределений неустойчивых частот почти все устойчивые плотности не выразимы в элементарных функциях (через обычные формулы). Но все устойчивые плотности (кроме гауссовой) убывают при больших значениях аргумента приблизительно как гиперболы, что и составляет формальное представление ценологического подхода.

В этом случае структурное описание основано на понятии эквивалентности: ценоз образован элементами-особями, каждые два из которых неотличимы, но могут быть идентифицированы поштучно, т. е. иметь номер-паспорт, оставаясь одного вида или различимы (разных видов):

uisjuksj; ik, sjsm,                                                             (1)

т. е. каждый элемент-особь помечается парой чисел: номером, присваиваемым особи ui=1, 2, …, U, где U – число особей одного семейства, образующих текст длиной Т, и номером вида sj=1, 2, ..., S, где S – число видов, образующих словарь объёмом V. Особи одного вида неразличимы и образуют популяцию. Виды, каждый из которых представлен равным количеством особей, образуют касты kk=1, 2, …, K, т. е. каждая из каст есть множество, образованное популяциями одинаковой численности. Распределение видов (видовое гиперболическое Н-распределение: термин Р. Фишера[15], подход C. B. Williams) – это распределение популяций одинаковой численности по кастам.

Вероятность появления касты есть зависимость, отражаемая кривой (гиперболической), параметры которой сохраняются для всех без исключения текстов, созданных человеком. Но кроме дискретности слов языка есть непрерывные величины. Объекты, характеризующиеся одной из таких величиной, могут быть проранжированы. Это приводит к Н-распределению по параметру.

Обобщая, сведём все три варианта технического применения математического аппарата Н-распределений в таблицу и будем пользоваться приведёнными обозначениями в дальнейшем.

 

Математическое представление аппарата Н-распределения

Распределение

Ось абсцисс

Ось ординат

Форма записи

Видовое

Число особей в виде (численность популяции)

Количество видов с одинаковым количеством особей

Ранговидовое

 

             Ранг

 

Количество особей в виде

Ранговое по параметру

Значение параметра

W(r)=W1/rβ

Предполагалась возможность отыскания некоторого "идеального" видового распределения, которое и есть Н-распределение, имеющее идеальные Н-параметры, в том числе идеальное значение характеристического показателя α, идеальное значение касты ноевой (первой точки – начала гиперболы) и саранчёвой (её последних точек). Как-то игнорировалось множество физических, биологических, технических и иных наблюдений. Williams, упоминая тропики, писал о сравнительно малом видовом разнообразии москитов в тундре (при неуступающем количестве гнуса, мошки), о сезонном изменении соотношения "вид–численность" популяции в Англии. Да и сам я наблюдал сплошняк Chamaenerium angustifolium (L.) Scop. в тайге на месте пожарища, Urtica dioica (L.) – в уничтоженных деревнях, Rheum palmatum (L.) – ковёр на границе таяния вечного снега – лакомства медведя (конечно, ревень оказался другого вида: var. altaicum (Losinsk.). Другими словами, нет a priori параметров, которые можно назвать оптимальными (идеальными).

Пусть i=1, 2, 3, ... – возможная численность популяции; ai – реализованная численность популяции (i – ряд, соответствующий натуральному ряду чисел; ai – эмпирически найденные значения). Видовое распределение может быть получено из текста Т непосредственно, если выбрать вначале все виды, встретившиеся по одному разу, т. е. популяции, состоящие из одной особи ai=1; они образуют тем самым первую (ноеву) касту k=1, общее число видов s в которой w1, эмпирическая численность особей в касте a1w1. Затем – все виды, представленные двумя особями, тремя и т. д. (если все знáчимые строки нумеровать по порядку, то в этом случае число строк равно числу каст К, где К есть наличествующие популяции). Последовательность wi назовём эмпирическим видовым распределением (распределением видов). Будем упрощённо считать однозначными обозначения Ω(wi)=Ω(i)=Ω(х):

Ω(х)=,                                                                              (2)

где x[1,∞) – непрерывный аналог мощности (численности) популяций i (i – всегда дискретная величина, i=[x]); α>0 – характеристический показатель; постоянная распределения – γ=1+α; W0=AS, W1=[W0], где W0 – теоретическое, не обязательно дискретное значение, и W1 – фактическое (экспериментальное) значение первой точки; А – постоянная распределения, которую находят из условий нормировки (хотя это теоретически и ошибочно из-за отсутствия математического ожидания и бесконечности дисперсии).

Обозначим через N0 самую мощную (саранчёвую) популяцию (касту), т. е. численность вида, представленного наибольшим количеством особей. Тогда численность популяций в ценозе может иметь значения i=1, 2, …, N0, фактически принимая лишь значения аi. Запишем очевидные соотношения для объёма словаря – перечня (списка) всех встретившихся видов выделенного семейства в исследуемом ценозе:

V=|S|==,                                                                                                                    (3)

для длины текста – списка всех и каждого "отловленного", охватывающего общее количество встретившихся (идентифицируемых) штук-особей:

T=|U|=Σui=                                                                          (4)

и относительной частоты появления касты, определяемой эмпирически ωi=wi/V и описываемой непрерывной кривой

ωi=A/xα,                                                                                       (5)

где 1>A>0; α>0 – константы, соответствующие (2).

Заметим, что ωi=wi/Σwi=wi/S=A/xα   и  ωiS=Ω(х)=Ω(wi). Тогда

Ω(х)==,                                                                        (6)

что и приводит к (2).

Видовые распределения отличаются характером изменения wi. Устойчивую зависимость показывают: "гипербола" Ω(х); S(U) – относительно более медленное увеличение количества видов при увеличении выборки штук-особей (характер кривой объясняет уменьшение А в выражениях (2) и (5) и увеличение повторяемости d=U/S); W1(S) – ноева каста (при увеличении выборки эта величина медленно уменьшается, как того требует теорема Гнеденко–Дёблина), что устойчиво статистически наблюдается.

Нами формулируется утверждение: частотным представлением (5) пользоваться не следует. Тем более не следует логарифмировать[16] результирующую кривую[17]. Преобразование (6) показывает потерю информации при переходе от (2) к (5). Теоретически это означает утрату представлений о "размере" ценоза: исчезают сведения о суммарном U – количестве особей (длине текста Т=Σui) и объёме словаря (количестве видов в выборке V=Σsi).

Значения W0 первой точки (ноева каста) в относительных единицах лежит в интервале от 0,7–0,9 до 0,2–0,3. Сравнение близких частот – вероятности ω1 (для практических целей – равных) одного завода, но с разницей в 25 лет, или разных отраслей – не сопоставимы по абсолютным U и S. Ценозы, равные по количеству особей, совершенно не сопоставимы по ω1 и повторяемости d. Общая тенденция – снижение численности первой касты с увеличением объёма выборки прослеживается, но возможно и обратное.

Следовательно, ошибочно предположение о существовании априори определяемых параметров закона видового распределения Ω(х), которые задают некоторую величину, определяемую S, U. Ошибочно считать, что при заданных S, U ряд единственный. Физика ценозов показывает, что из одного объёма словаря можно получить множество значений U (множество текстов): для известного числа установленных видов единиц-особей изделий количество штук-особей может быть различно.

Предпочтение, отданное видовому распределению (2), объясняется неочевидностью того, что ноева каста (группа видов, каждый из которых представлен строго одной особью) должна быть наиболее многочисленной. Здесь мы не делаем насилия над фактическими данными, выделяя уникальные единичные виды, затем – встреченные дважды и т. д. Нет никаких оснований до опыта утверждать, что при этом должна образоваться гипербола.

Теперь, охватив все виды S словаря V, проранжируем данные текста T, расположив все виды принудительно в порядке уменьшения численности каждого вида (численности популяций), естественно получим спадающую кривую, называемую гиперболическим ранговидовым H-распределением.

Мною отдаётся предпочтение приоритетной естественности для дискретных величин видового распределения перед ранговидовым. Нужно связать идеи глобального эволюционизма с негауссовой статистикой, с вúдением мира, где отсутствует математическое ожидание (среднее), а дисперсия бесконечна (сколь угодно большая ошибка при определении в точке).

Ранговидовое распределение Λ(r) по определению получается из видового (ранговое распределение "свёртывается" в видовое, образуя обычно более короткую запись, и обратно): ur – количество особей вида sr (численность популяции sr вида), соответствует рангу r при общем числе особей U (длина текста Т=|U|). Ранг вида s=1, 2, ..., sr, ..., S – это его порядковый номер (номер строки). Последний номер S определяет объём словаря V, можно записать V=|S|. Функция ur=Λ(r) записывается в виде:

Λ(r)=B/rβ; ω(r)=ur/U; U=ur,                                                              (7)

где В – абсолютная величина и характеристический показатель β>0 – константы ранговидового гиперболического Н-распределения (в наших исследованиях 0,5>β>1,5).

В процессе познания человек достаточно уверенно стал различать дискретное и непрерывное. Оказалось, что для одних целей Н-анализа необходимо учитывать дискретность (отличать особь от особи); для других – существует непрерывный ряд такой, что понятие "вид" смазывается, и следует вводить балльную или ранговую оценку (или, например, децильную Парето). Такими непрерывными величинами, исследуемыми Н-распределением по параметру, могут быть активы банков, творческие способности, расходы энергоресурсов, численность работающих (проживающих). Тогда, в порядке убывания какого-либо параметра располагают (ранжируют), например, цехи, заводы, отрасли; города, регионы, стрáны (в обычно применяемой нами записи):

W(r)=W1/rβ,                                                                                   (8)

где r=1, 2, … – ранг; для r=1 первая точка W1 – объект (особь) с наибольшим значением параметра.

Таким образом, я говорю о трёх формах Н-распределения: (2) и (7) применимы при исследовании ценозов, образованных дискретными величинами; (8) – для непрерывных величин. Для всех ценозов существуют только видовое, ранговидовое и ранговое по параметру Н-распределения. Промежуточная форма (5), несмотря на соответствие её эмпирическим данным, вызывает трудности применения: 1) параметры А, α зависимы и не обнаруживают сходимости при увеличении выборки, причём, для α существуют ограничения 0<α<2 (постоянная А снижается, но не линейно); 2) отсутствие математического ожидания и бесконечность дисперсии не дают возможности сравнить два ценоза. Зависимость S(ui) обладает общей закономерностью: словарь пополняется медленнее, чем растёт текст (появление каждого нового вида всё менее вероятно). Следовательно, увеличение объёма выборки из одной генеральной совокупности не приближает к некоторой "стандартной", "идеальной" кривой Н-распределения. Относительная частота ω, оперируя рядом, каждый член которого делится на S, теряет часть информации и делает применение (5) малопригодным для практики.

Дискретные значения Ω(wi) видового распределения и их непрерывный аналог Ω(х) хорошо аппроксимируются (2) на отрезке [1,R1], где i=1, 2, …, R1 – целочисленные значения х, i=[x], R1=[R]. Это позволило мне ввести важное понятие: особую точку, точку перегиба, пойнтер-точку R. Можно рассматривать касты как характеристику ценоза и говорить об однородности. Всегда Ω(x)>1 или Ω(х)<1; и лишь в точке R строго Ω(x)≡1. Гипербола делится точкой R на две ветви: слева i=1, 2, ..., R – неоднородные касты, где каждая образована множеством видов; справа i=R+1, R+2, ..., K – однородные касты. В каждой – теоретичеcки рoвно один вид (i соответствует числу особей этого вида), N0 – численность последней (саранчёвой). Kоличество каст статистически связано с пойнтер-точкой. Виды, группирующиеся вокруг i=R, есть виды-определители. Отметим, что наличие точки, имеющей особый характер, математически несомненно.

Если взять ∫хdx от бесконечности и уменьшать х, то в какой-то точке х=аi, обозначенной j=1, интеграл станет равным единице: появился вид. Целочисленное значение [x] будет означать количество особей в образовавшейся касте. Аналогично образуются другие однородные касты в интервале j=1, 2, …, R2, где j – номер однородной касты. Для обработки эмпирических распределений и вычисления W0, α в выражении (2) используется метод наименьших квадратов и метод минимального различия между расчётными U, S, K=R1+R2 и наблюдаемыми значениями этих величин.

Достаточно полно гиперболическое Н-распределение описывается обобщающими показателями V=|S|, T=|U|, K, W1, N0, что позволяет сформулировать утверждение, что сравнение ценозов более информативно (продуктивно) по обобщающим показателям, чем по характеристическим α (или β) и первой точке (или W1).

Рассматривая повторяемость d=U/S с точки зрения теории и практики, встречаемся с противоположными позициями: с общесистемных – устойчивость и эффективность ценоза тем выше, чем бóльшим разнообразием элементов ценоз характеризуется; с точки зрения унификации – всё сделать одинаковым. Заметим, что для творчества – чем меньше унификации, ординарности, тем лучше. Александр Сергеевич, и не подозревавший, что он реализует видовое H-распределение, для 20732 особей-слов "Евгения Онегина" (статобработка моя), использовал словарь объёмом 4596 видов-слов. В то время как Гипромез (и я, как его работник) установил в Караганде 24721 электродвигатель (текст) лишь 1968-и видов (объём словаря). Не гениально, конечно.

Введение понятия пойнтер-точки для видового Н-распределения (для рангового по параметру это сделал Фуфаев В. В.) позволяет сформулировать: структура ценозов не описывается единой гиперболой. Самоорганизуется точка перегиба R такая, что гипербола дискретно-непрерывно существует до этой точки, вырождаясь в ней Ω(R)≡1 в прямую так, что далее все виды единичны WR,…,WK, где WR – значение численности популяции в пойнтер-точке; WK – численность наибольшей популяции (саранчёвый вид: WK=N0). Существует теоретический запрет на возможность совпадения после R численности популяций двух видов. Следовательно, кратко: структура ценозов описывается числом каст К и пойнтер-точкой R.

Наличие области, тяготеющей к R, пояснялась мною С. В. Мейену на примере таёжного распадка, где сравнение фитоценоза по часто встречающимся видам деревьев и травянистых растений не может быть проведено (они есть и на северной, и на южной стороне распадка). Нельзя сравнить и по уникальным видам (они не пересекаются). Конструктивность идеи была подтверждена Е. Кудриной при обработке "Мастера и Маргариты" как неформализуемой модели видового распределения персонажей (V=401; T=2089), где к пойнтер-точке R=34 примыкают: Левий Матвей – встретившийся на 24 страницах; Гелла – 28; Н. И. Босой – 29; Варенуха – 34; Римский – 41; Стёпа Лиходеев – 42; Га-Ноцри – 50. Именно эти персонажи и отражают булгаковскую специфику и отличие от "Фауста" Гёте.

Извлечения из текста слов, отражающих смысл (ключевых слов), сводятся не к средней части гиперболы, а к точке перегиба R, которая сдвинута относительно "середины".

Все рассматриваемые модели – модели статические. Фуфаев обобщил статику Н-распределений и предложил структурно-топологическую динамику Н-распределения[18], позволяющую следить за поведением каждого вида во времени и оценить видовую надёжность по относительному движению точки по кривой Н-распределения.

Управление структурой предполагает возможность сравнения двух ценозов, включая сравнение ценозов различной природы. Необходимость в эталонном распределении привела меня в 1973 г. к модели простых чисел[19], а затем к утверждению: природа запретила плавность Н-гиперболы. Саранчёвость обнаруживается появлением чисел натурального ряда, состоящего только из двоек, троек и т. д. как сомножителей, что предельно объективно, хотя менее предсказуемо.

Примем в качестве канонического дискретное распределение простых сомножителей в факториале некоторого числа N. Назовём видом любое простое число qr, где r – номер простого числа натурального ряда чисел, абстрактно воспринимаемое, из ряда: 2, 3, 5, 7, ..., 137, 139, 149, 151, ..., 509, 521, 523, 541, ...(2756839–1), ..., а особью – появление этого простого числа как сомножителя (единица исключается) в любом из чисел натурального ряда. Тогда каждое натуральное число Ni>1 представимо следующим образом:

Ni=q, q, …, q,      mj≥0, (j=0, 1, 2, …, m)                     (9)

где m – степень (встречаемость) простого числа; r – ранг простого числа. Например, Ni=101! двойка (саранчёвый вид) q1=1 встретилась (как особь) m1=97 раз, тройка – 48 раз (q2=3, m2=48) и т. д., 11 простых чисел встретилось 1 раз (ноева каста). Последний номер r (для Ni=101! r=26) определяет число видов в системе S. Cумма чисел 97+48+24+…+1+1+1 (сумма особей всех видов) определяет число особей ценоза. Оценка численности первой касты производится с использованием теоремы о простых числах W1=N/2lnN (с простыми числами много работал Эйлер, который близко подошёл к моей модели, но не описал её). Остальные числа ряда также получаются аналитически, но проще и точнее (из-за дискретности величин) получать их прямым счётом.

Нумерация каст в видовом распределении имеет физический смысл: это своеобразное ранжирование (по порядку без прóпусков) экспериментально полученных результатов наблюдений, т. е. классификация, в данном случае, естественная. Ошибки для редких видов (экспериментальные) перемещают вид из касты в соседнюю (также популяционно малочисленную); ошибки в определении числа особей для многочисленных видов, как правило, даже не меняют номера касты. Это даёт однозначное распределение каст, канонизированное в виде ряда простых чисел, т. е. при заданном S все остальные параметры получаются по (9) однозначно (например, N0 – число двоек в факториале 1023!, равное 1013).

Модель простых чисел позволяет утверждать, что для заданного количества видов существует единственный ряд, однозначно определяющий гиперболическое Н-распределение и его параметры. Могжет быть предложена незавершённая алгоритмическая процедура определения ряда, по Калашникову–Фуфаеву. При разложении каждого числа Ni натурального ряда на простые сомножители существует алгоритм преобразования факториала Ns, где S – номер наибольшего простого числа в факториале такой, что, начиная с некоторого произвольного числа, исключением некоторых видов можно получить ряд, идентичный гиперболическим Н-рядам с поправкой, связанной с изменением числа сомножителей, равных их числу между Ns-1 и Ns+1.

Модели простых чисел позволяют говорить о факте, замеченном впервые мною (на что обратил внимание Ю. В. Чайковский, придав этому большое значение[20]): на видовой кривой Н-распределения, до точки R непрерывной, имеются всплески и провалы, которые обязательны; на ранговой – расстояние между саранчёвыми видами неравномерно, а численности популяций растут нелинейно. Это явление наиболее полно исследует В. И. Гнатюк[21], разрабатывая методы оптимизации гиперболических Н-распределений.

Замечу, что первая в H-распределении по параметру точка – элемент (особь) – может быть не из этого, а из другого ценоза (поэтому не следует "подгонять" кривую). Что касается саранчёвых каст, то они, безусловно, всегда из этого же ценоза, но обладают свойством массово возникать. Факториал 1023! Но дальше 1024! – видов не прибавилось, а всплеск налицо (десять двоек), который не надо подгонять под гиперболу. Экспериментально обнаружена теоретически не доказанная возможность заполнения промежутков в дискретно-непрерывной части гиперболы до точки R кастами после этой точки: возможна плотная упаковка, что, собственно, и есть теорема. Обратим внимание ещё на возможность свёртки в ограниченное количество шагов.

Рассматривая общность ценологических законов, исследуя разнообразие и соотношение "крупное–мелкое", как правило, нечётко формулируется возможность переноса результатов исследований из одной области знаний в другую (из физики в биологию, из биологии в традиционную технику). Техническая реальность как предмет исследования сущностей технетики, для каждой из которых ценологические представления, подкреплённые эмпирическими фактами, обобщаемы видовой и ранговой гиперболичностью до уровня закона Природы.

Естественно, поэтому, воспринимается, что гравитационное поле звёзд (распределение Хольцмарка) имеет симметричное устойчивое распределение[22] с характеристическим показателем α=1,5. Это же распределение и такой же показатель для каждого минерала Земли (по встречаемости в земной коре), каждого месторождения (по элементному составу образца). Принципиально, что распределение Парето также имеет α=1,5, что "может рассматриваться как эмпирический аналог асимптотики теоретического распределения Хольцмарка"[23]. Мы же говорим не об аналогии, а о некотором природном законе, действующем в любой материальной и идеальной реальностях и математически одинаково представимом с одинаковыми характеристическими показателями. В монографии Яблонский А. И. исследовал математические методы моделирования динамики и структуры науки, на обширном фактическом материале рассмотрев частотный и ранговый подходы, закон Ципфа–Парето, устойчивые негауссовы процессы и распределения.

Закон Ципфа[24] как эмпирическая закономерность распределения частоты слов естественного языка есть данность мировой науки. Наше отличие математического представления закона обобщены в таблице. Существуют и более строгие обоснования закона Ципфа[25], восходящие к математической теории эволюции[26]. Ранее лингвистического подхода аналогичные закономерности обнаружили биологи[27] с приведением динамики популяций[28]. Williams C. B. почти в сотне таблиц представил различные варианты гиперболичности биоценозов (сейчас перешли к исследованию экосистем).

Состав гидросферы, атмосферы, литосферы, жизненно важных элементов в организме человека позволяет говорить о законе рангового распределения как законе разнообразия[29]. Неравенство-разнообразие присуще всему мёртвому, определившемуся со своим эволюционным Н-процессом миллиарды лет назад; живому – миллионы; социальному, воспринимающему расслоение как должное, хотя указывающем сейчас на негативное влияние избыточного неравенства на темпы экономического роста, на социальную мобильность и политическую устойчивость.

Что касается логарифмирования множества видов, то с обстоятельным рассмотрением проблемы и математическим аппаратом[30] можно согласиться, но при рассмотрении некоторых ценозов нужны параметры точки (объекта-особи) и её место (каста) на гиперболической кривой. Вызывает возражение представление Б. Мандельбротом[31] саранчёвого всплеска численности особей-штук при ограниченном числе видов. Речь о статистическом законе психолингвистики, открытом Эступом и Ципфом. Предлагается приближение – числовой множитель 1/10 и дважды логарифмический график. Сделан вывод о существовании закона частот слов[32]. Закон Ципфа предложен прямой с угловым коэффициентом минус 1. Закон Мандельброта представлен прямой частью и горбом, который и пытаются выровнять коэффициентом. Нами саранча не выравнивается, фиксируется в тех кастах, где она выявилась фактически как всплеск.

Изучение технических ценозов имеет преимущество в строгости перед биоценозами и в динамике перед математической лингвистикой (вообще перед областью информационных и социальных исследований). Во-первых, относительно устоявшиеся представления о системе показателей и структуре цеха, производства, завода, отрасли; города, региона, государства. Во-вторых, бухгалтерскую, в идеале, статистику. В-третьих, возможность отследить эволюцию вида, опускаясь до отдельной особи. Темпы техноэволюции и биоэволюции – не сопоставимы, но взаимное моделирование многообещающе.

Ранговое распределение по параметру даёт возможность говорить об оптимальности, эффективности ценоза в целом. Следующий шаг – не во вне, а внутрь: исследование структуры для установления соотношения "крупное–мелкое" и соотношения по разнообразию: 40–60 % видов ноевы (это 10 % особей); 40–60 % массовы, саранчёвы (это лишь 10 % видов). Так я говорю об обязательности исследования структуры по параметрам в ряду других ценозов и видовой структуры единичного ценоза, не рассматривая здесь проблему его выделения.

Представляя Н-распределения и говоря о концептуальном значении термина техноценоз, составившего основу технетики – науки о технической реальности, я утверждаю, что для ценоза порядок более естествен, чем хаос; этот порядок обеспечивается информационно через физические процессы; увеличение разнообразия увеличивает устойчивость системы; изоляция ценоза останавливает развитие; конкуренция повышает эффективность отбора.

Таким образом, ценологические представления, опираются на одновременность выделения элемента-штуки-особи, введения видовой классификации для каждой особи, формализованного описания собственно ценоза как сообщества. Существует приоритетная естественность видового Н-распределения перед ранговидовым. Видовое математически представимо моделью простых чисел, заключающейся в разложении на простые сомножители факториала натурального числа, и пойнтер-точкой R, которая ограничивая гиперболическую область, позволяет описывать структуру ценозов числом каст К и значением R имея всплески и провалы (зубцы), которые не случайны, а закономерно обязательны, как и неравномерность расстояний между саранчёвыми кастами после точки R.

И в заключение математической части предложим три теоремы, доказательно рассмотренные С. Пущиным[33].

Теорема 1. Существует единственное простое число и N! такое, что разложение его на простые множители содержит столько сомножителей, встретившихся только один раз, сколько их в ноевой касте реального ценоза.

Теорема 2. Видовое гиперболическое распределение до пойнтер-точки R можно представить в виде ряда разложений факториалов простых чисел на простые множители по алгоритму, задающему число видов, популяции каждого из которых численно равны для всей последовательности каст.

Теорема 3. Существуют два простых числа, между которыми заключено столько составных чисел, сколько особей в ценозе. Количество связей между особями одного или разных видов определяется количеством простых сомножителей в разложении этих чисел на простые множители.

Надеюсь со временем пользоваться, защищённым авторским правом алгоритмом и программой, где три фактические (статистические) строки: 1) номера каст по порядку натурального ряда чисел; 2) количество видов с одинаковой численностью каждой популяции (в ноевой касте каждый вид представлен одной штукой-особью, в саранчёвой – вид единичен и характеризуется множеством неразличающихся штук-особей); 3) общее количество штук-особей в касте (как произведение числа видов в касте на численность популяции). Программа должна фиксировать, воспроизводить фактическое, лишь констатируя некоторые отклонения до точки R и саранчёвые всплески после.

Вернёмся к примерам, констатирующим, что в любой и каждой материальной и идеальной реальности Природа (!) образует своеобразно непознаваемые сообщества-ценозы, структура которых описывается, условно говоря, гиперболическим Н-распределением, параметры которого математически оговорены. Само распределение не имеет математического ожидания (среднее не имеет смысла), дисперсия стремится к бесконечности (ошибка для случайной точки-особи сколь угодно большая). Любой ценоз встроен в иерархию, но, при неясности верхних границ иерархии и количества штук-особей наверху, имеет нижнюю границу – десяток-другой элементов-особей нескольких видов.

Обобщим философское осмысление ценологической картины мира, концептуально опираясь на анализ примеров в начале статьи и фактическую подборку новостей средств массовой информации, дающих достаточно иллюстраций классической, постклассической, постнеклассической научных картин мира.

Классика оперирует с абстрактными (идеальными) объектами: тела (поля) и движение (траектории) в трёхмерном пространстве (четырёхмерность Минковского). Картина мира (первая) опирается на классические физические постулаты[34], интерпретируемые применительно к технике так, что была осуществлена промышленная революция, пришли к индустриальному обществу, сейчас – к постиндустриальному нанотехнологическому. Важны два положения: 1) субъект, рассчитывая машину (технику или любую другую из сущностей технетики), не может игнорировать ни одно из положений инженерных наук; 2) рассчитанное не может быть изготовлено со 100 %-ной точностью и чистотой (система допусков и посадок весьма изощрённа). Важно, что первая картина мира как имела всеобщий характер, так и имеет: квадрат скорости неизбежно диктует последствия столкновения и сегодня

Вторая, вероятно-статистическая картина[35] оперирует с процессами и системами, математическим ожиданием (средним), конечной дисперсией (ожидаемой ошибкой) восходя к играм с монетами, костями, картами, вузовской теории вероятностей[36], инженерному использованию нормального распределения. Значимость картины возросла, когда был поставлен вопрос о дуализме, существующем между теорией волн и теорией частиц: нельзя одновременно и в точности знать местоположение и скорость той или иной частицы; принцип неопределённости квантовой реальности. Гейзенберг исходит из постулата (с. 28), что "природа допускает лишь такие экспериментальные ситуации, которые могут быть описаны в математической схеме квантовой механики".

Приведенные примеры из ньютоно-максвеловской физики, биологии и экологии[37], технетики, информационной и социальной реальностей не требуют привлечения квантовой механики при изучении и использовании электромагнитных излучений и волн[38], определения скорости движения электронов по проводнику. Необходимо же назвать ценоз, сузить его до техно-, информ- социоценоза; назвать штуку-особь, квалифицировать по видовому признаку. Пример: регион, медобсуживание–больница; больной вообще, видовая констатация – сердечная недостаточность (наличие видового распределения диагнозов по больнице–региону служит серьёзным подспорьем для принятия управляющих решений по месяцу, сезону, году). И здесь Москва, кстати, делится, и делится, и делится на неучтённые ценозы с выделением того, который нужен для решения конкретики.

Итак, общая и прикладная ценология имеет дело с не познаваемыми объектами. Да, это ценоз, говорит Н-распределение: это ноевы особи и виды, это саранча, это виды-указатели, это структурно-топологическая динамика, позволяющая говорить о поведении вида во времени.

Вот три информценоза Н-неразличимые при проверке по характеристическому показателю: "Аристократка" М. Зощенко, "Злоумышленник" А. Чехова, "Последний лист" О. Генри. Думаю, что неразличимость не имеет отношение к познаваемости, эстетической оценке, просто личному восприятию этих вершин рассказов.

 

Справочная литература

 

Кудрин Б. И., Розин В. М. Разговор технария и гуманитария в поезде "Томск–Москва" о философии технетики и не только о ней. – Томск: Изд-во Том. ун-та, 2005. – 84 с.

Кудрин Б. И., Фуфаев В. В. Таблицы временных рядов Н-распределений электрооборудования и электропотребления. Т. 1. Электрооборудование. Вып. 13. "Ценологические исследования". – Абакан: Центр системных исследований, 1999. – 352 с.

Лагуткин О. Е. Ценологическая методология ранговых Н-распределений // Электрика. 2001. № 8. С. 31–39.

Любищев А. А. Линии Демокрита и Платона в истории культуры / Сост., ред., предисл., заключ. ст. Б. И. Кудрин. – М.: Электрика, 1997. – 408 с.

Орлов Ю. К. Динамика ранговых распределений и проблема статистики редких событий // Электрика. 2001. № 8. С. 22–31.

Ценологическое видение сообществ материальных и идеальных реальностей: фундаментальность теории и всеобщность практики. Обобщающие материалы по общей и прикладной ценологии. Вып. 53. "Ценологические исследования". Вып. 53. – М.: Технетика, 2014. – 454 с.

Сводная библиография по электрике, технетике, общей и прикладной ценологии. К 80-летию со дня рождения проф. Б. И. Кудрина / Составление и редакция Г. А. Петрова. Изд. 3-е, перераб. и доп. Вып. 50. "Ценологические исследования". – М.: Технетика, 2014. – 244 с. (Допечатка – 252 с.)

Электроэффективность: ежегодный рейтинг российских регионов по электропотреблению за 1990–2014 гг. // Промышленная энергетика. 2015. № 12.

Global Studies Encyclopedia / Edited by I.I. Mazour, A.N. Chumakov, W.C. Gay. TsNPP "Dialog". Raduga Publishers, 2003. 592 p.

Кудрин Б. И., Седнёв В. А., Воронов С. И. Семнадцать лекций по общей и прикладной ценологии: Монография. – М.: Академия ГПС МЧС России, 2014. – 227 с.

Кудрин Б. И., Цырук С. А. Техноценологические основания науки об электрическом хозяйстве потребителей электротехнической продукции и электрической энергии и мощности. Монография. Вып. 56. "Ценологические исследования". – М.: Технетика, 2015. – 293 с.



[1] Кудрин Б. И. Технетика: наука о технической реальности. Вып. 49. "Ценологические исследования". – М.: Технетика, 2013. – 16 с.

[2] Кудрин Б. И. Введение в технетику. 2-е изд. перераб. и доп. (1-е изд. 1991, 384 с.). – Томск: Изд-во Томск. гос. ун-та, 1993. – 557 с.

[3] Математическое описание ценозов и закономерности технетики. Вып. 1 "Ценологические исследования". Доклады Первой междунар. конф. (Новомосковск Тульск., 24–26 января 1996 г.) и вып. 2. "Ценологические исследования". Философия и становление технетики. – Абакан: Центр системных исследований, 1996. – 452 с.

[4] Williams C. B. Patterns in the balance of nature, and the related problems in quantitative ecology. L. and N.-Y.: Academic Press, 1964. 324 p.

[5] Кудрин Б. И. Распределение электрических машин по повторяемости как некоторая закономерность / Электрификация металлургических предприятий Сибири. Вып. 2. Томск: Изд-во ТГУ, 1974. – С. 31–40.

[6] Философские основания технетики. I. Православие и современная техническая реальность. II. Онтология технической реальности и понятийное сопровождение ценологического мировоззрения. III. Математический аппарат структурного описания ценозов и гиперболические H-ограничения. Материалы VI Междунар. науч. конф. по философии техники и технетике (Москва, 24–26 января 2001 г.). Вып. 19. "Ценологические исследования". – М.: Центр системных исследований, 2001. – 628 с.

[7] Гнеденко Б. В. Предельные законы для сумм независимых случайных величин // Успехи мат. наук. Вып. 10. М.–Л.: ОГИЗ, 1944. – С. 115–165.

[8] . Гнеденко Б. В., Колмогоров А. Н. Предельные распределения для сумм независимых случайных величин. – М.–Л.: Гостехтеориздат, 1949. – 264 с.

[9] Кудрин Б. И. Применение понятий биологии для описания и прогнозирования больших систем, формирующихся технологически / Электрификация металлургических предприятий Сибири. Вып. 3. – Томск: Изд-во ТГУ, 1976. – С. 171–204.

[10] Терминологический словарь проектировщика сложных металлургических систем типа ценоз. В 3-х томах. – М.: Гипромез, 1990; Техническое творчество: теория, методология, практика. Энциклопедический словарь-справочник. М.: НПО "Информ-система", 1995. – 408 с.; Глобалистика. Международный междисциплинарный словарь. – М.–СПб.–Нью-Йорк, 2006. – 1160 с.; Философия техники: классическая, постклассическая и постнеклассическая. Словарь. Авт. колл. Вып. 37. "Ценологические исследования". – М., 2008. 180 с.; Попов М. Х. Терминологический словарь по технетике. Ок. 2800 терминов. Общая и прикладная ценология. Вып. 42. "Ценологические исследования". – М.: Технетика, 2009. – 392 с.

[11] Кудрин Б. И. Отбор: энергетический, естественный, информационный, документальный. Общность и специфика / Электрификация металлургических предприятий Сибири. Вып. 5. – Томск: Изд-во ТГУ, 1981. – С. 111–187.

[12] Зайцев Г. З., Божков М. И. Техноценологический взгляд на электрификацию жилья и быта // Электрика. 2002. № 11. С. 38–41.

[13] Колмогоров А. Н. Основные понятия теории вероятностей. – М.–Л., 1936; М., 1974.

[14] Хайтун С. Д. Проблемы количественного анализа науки. – М.: Наука, 1989. – 280 с.

[15] Fisher R. A., Corbet A. S., Williams C. B. The relation between the number of species and the number of individuals in a random sample of an animal population// J. of Animal Ecology, 1943, No. 12. P. 42–58.

[16] Хинчин А. Я. Асимптотические законы теории вероятностей. – М.: ОНТИ, 1936. – 96 с.

[17] Хайтун С. Д. Наукометрия: Состояние и перспективы. – М.: Наука, 1983. – 344 с.

[18] Фуфаев В. В. Ценологическое определение параметров электропотребления, надёжности, монтажа и ремонта электрооборудования предприятий региона. – М.: Центр системных исследований, 2000. – 320 с.

[19] Ценологические исследования распределений простых чисел (30-летие открытия) / Под ред. В. В. Фуфаева. – М.–Абакан: Центр системных исследований, 2004. – 144 с.

[20]Чайковский Ю. В. О природе случайности. Вып. 18. "Ценологические исследования". – М.: Центр системных исследований – Институт истории естествознания и техники РАН, 2001. – 272 с.

[21] Гнатюк В. И. Закон оптимального построения техноценозов. Вып. 29. "Ценологические исследования". – М.: Изд-во Томск. гос. ун-та – Центр системных исследований, 2005. – 384 с.

[22] Феллер В. Введение в теорию вероятностей и её приложения. В 2-х т. Т. 2. – М.: Мир, 1984. – 738 с.

[23] Яблонский А. И. Математические модели в исследовании науки. ВНИИ системных исследований. – М.: Наука, 1986. – 352 с.

[24] Zipf J. K. Human behaviour and the principle of least effort. – Cambridge (Mass.): Addison-Wesley Press. 1949. XI. 574 p.

[25] Hill Bruce M., Woodroofe Michael. Stronger forms of Zipf’s law// J. of American Statistical Association, 1975, vol. 70, No. 349. P. 212–219.

[26] Yule J. U. A mathematical theory of evolution based on the conclusions of Dr. J. C. Willis, FRC// Philos. Transact. Roy. Soc. Ser. B.  London, 1924, vol. 213. P. 21–87.

[27] Lotka A. S. Elements of Physical Biology. Baltimore, Wikins, 1925. 460 p.

[28] May R. Chaos and dynamics of biological populations // Dynamic chaos. Proceedings of R.S. Discussion. 1987. Ser. A. V. 413. № 1844.

[29] Гурина Р. В., Дятлова М. В. Закон рангового распределения как закон разнообразия. Вып. 46. "Ценологические исследования". – М.: Технетика, 2012. – С. 162–171.

[30] Watterson J. A. Models for the Logarithmic Species Abundance Distributions // Theoretical Population Biology, 1974, No. 6. P. 217–250.

[31] Mandelbrot B. Les objects fractals: forme, hasard et dimension. Paris: Flammarion, 1975. 192 p.

[32] Манделброт Б. Теория информации и психолингвистика: теория частот слов. Математические методы в социальных науках. Сокр. пер. с англ. – М.: Прогресс, 1973. – С. 316–337.

[33] Пущин С. Л. О трёх теоремах Б. Кудрина. Вып. 53. "Ценологические исследования". – М.: Технетика. – С. 11–28.

[34] Медведев Б. В. Начала теоретической физики. – М.: Наука. – 496 с.

[35] Гейзенберг В. Избранные философские работы. – Санкт-Петербург: Наука, 2006. – 572 с.

[36] Вентцель Е. С. Теория вероятностей Учебник для вузов. – М.: Наука, 1969. – 576 с.

[37] Одум Ю. Основы экологии. – М.: Мир, 1975. – 742 с.

[38] Круг К. А. Основы электротехники. Основное учебное руководство для энергетических втузов. – М.–Л.: ОНТИ НКТП СССР, 1936. – 888 с.