// Электрика. – 2008. – № 2.–
С. 45-47.
СЕМЬ ВЕЛИКИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Б.А. Трубников, О.Б. Трубникова
Институт ядерного синтеза РНЦ "Курчатовский институт"
Институт биологии развития им. Н. К. Кольцова РАН
Показано, что все семь
фундаментальных природных распределений частиц: 1) Ферми–Дирака (ФД); 2) Бозе–Эйнштейна (БЭ); 3) Планка (Пл); 4) Блоха (Бл для
фононов); 5) Максвелла–Больцмана (МБ); 6) Гаусса (Га) и 7) распределение конкурентов – получаются
всего лишь из двух букв (m, n) единообразным
комбинаторным методом и приёмом Лагранжа с требованием максимума энтропии при
двух дополнительных условиях, и их спектры содержат лишь по два параметра. Это
единообразие и общность позволяют считать распределение конкурентов столь же
хорошо обоснованным в математическом смысле, как и остальные шесть классических
физических распределений.
1. Напомним основные положения статистической физики и сначала
рассмотрим шесть физических распределений. Пару чисел N, K будем называть "малым набором".
Как известно, N фермионов можно разместить поодиночке по K>N состояниям числом
способов, равным биномиальному коэффициенту . Для бозонов имеем . Для частиц Максвелла–Больцмана (максвеллонов)
при K>>N можно приближённо
положить , и тогда ; а для фононов Блоха при N>>K
приближённо имеем , и тогда . Считая все числа большими и используя формулу Стирлинга, а также вводя среднее число частиц n=N/K в одном состоянии,
запишем числа способов как , где функции fi=fi(n) равны соответственно:
(1)
Число Сi называют статистическим весом состояния, а его
логарифм S=lnCi=Klnfi называют энтропией. И равновесие достигается
тогда, когда числа Сi максимальны, а следовательно – максимальна и энтропия S.
2. Далее считаем, что полное множество (система) состоит из
независимых "малых наборов", и тогда стат-вес
системы равен произведению стат-весов
всех малых наборов. На этом этапе малым наборам следует присвоить индекс m, заменяя . Тогда полная энтропия запишется как сумма энтропий малых
наборов
S=.
(2)
Требование её максимума должно выполняться при двух дополнительных
условиях: когда считаются заданными суммарная энергия системы и полное число частиц . Для этого по методу Лагранжа составляем комбинацию , и уравнения дают соотношения . Нетрудно проверить, что подставляя
сюда функции (1), получим соответствующие распределения
. (3)
Распределение Гаусса (пятое) можно получить из одномерного газа
Максвелла–Больцмана,
а шестое распределение фотонов – из распределения Бозе–Эйнштейна при нулевом химпотенциале (β=0).
Итак, мы получили все шесть физических распределений, анализируя
сначала малые наборы с парой чисел (N,
K), приписав индекс m среднему числу и затем рассмотрев "большой
набор" с суммарной энтропией.
3. Чтобы получить распределение конкурентов, следует избрать
обратный путь. Сначала вводим "большой набор", для которого
статистический вес (число возможных способов размещения множества объектов по группам) принимается
равным
, , В=, Г= . (4)
Пользуясь формулой Стирлинга , получим произведения
Б=, В=, Г=, где б=, , , (5)
где е – основание натуральных логарифмов. Тогда число способов С запишется как
, где . (5)
Так что стат-вес "большого набора"
равен произведению стат-весов
"малых наборов", как это имеет место и в шести физических множествах.
И, по аналогии с ними, его логарифм
, где (6)
назовём энтропией населённости большого набора
конкурентов, а Sm – энтропией населённости малого набора конкурентов.
Вместо слова конкурент можно было бы
употребить термин реципиент –
получатель доли некоторого "ресурса" . Далее по методу Лагранжа составляем комбинацию и уравнение . В случае ресурса это даёт
дифференциальный и интегральный спектры конкурентов:
, . (7)
В пределе получим приближённую
формулу , которую называют "законом Парето–Ципфа–Кудрина"
(Б. И. Кудрин – создатель науки технетики о техноценозах). Она имеет огромное число
применений (см. [1–3], но расходится в области малых значений m, так что учёт обрезающей экспоненты в спектрах (7) в
принципе необходим всегда. Примером проявления обрезающей экспоненты
является распределение по массам зародышевых ооцитов лягушки на стадии их
роста, впервые полученное О. Б. Трубниковой и изображённое
на рисунке.
Список литературы
1. Трубников Б. А., Трубникова О. Б.
Пять великих распределений вероятностей//Природа. 2004. № 11. С. 13.
2. Trubnikov
B. A.,Trubnikova O. B.
Theory of Competition//Book of abstracts of 13th Gen. Conf. of the Eur. Phys. Soc. EPS-13 Bern, Switzerland, 11–15 July 2005.
Invited report BR6-4-THU. Р.119.
3. Ричард Кох. Принцип
80/20 / Пер. с англ. Каштан. Минск: Изд-во "Попурри", 2004.
|
Рисунок. Распределение по массам зародышевых ооцитов лягушки на
стадии их роста