// Материалы ХV конференции по философии техники и технетике и семинара по ценологии (Москва, 19 ноября 2010 г.). Вып. 47. «Ценологические исследования». – М.: Технетика, 2011. – 400 с.

 

ДВА ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫХ ПРИМЕРА ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ГРУПП В ПРИРОДЕ

Б. А. Трубников

 

1. Существует раздел математики, называемый теорией групп. В нём "группой" называют совокупность объектов, которые подчиняются определённым правилам поведения при операциях преобразования группы. Группа должна быть устроена так, чтобы применение операции давало бы новый объект, но обязательно принадлежащий той же группе. И для всякой операции должна существовать обратная операция. Последовательное применение прямой и обратной операции должно возвращать группу в исходное состояние.

2. В качестве первого уникального примера группы рассмотрим стандартный (типографский) лист бумаги. Он исходно изготовлен в таких размерах, что сложение вдвое длинной стороны не меняет отношения сторон (длинной к короткой). Введём некоторое уточнение. Чтобы правило сохранения отношения сторон сохранялось, оно всегда должно равняться , и такие листы мы назовём "одинарными листами Леонардо да Винчи" (он их изобрёл). Если операцию сложения вдвое повторить, то получим "двойные листы да Винчи", у которых отношение сторон при всех последующих операциях сложения будет равно 2. После этого операцию можно продолжать и в прямом, и в обратном направлениях, всё время получая новые члены группы, обладающие тем же свойством отношения сторон.

3. Судя по всему, подобными групповыми свойствами обладают так называемые карликовые галактики – спутники нашего Млечного Пути. Они были обнаружены лишь недавно (2008) группой астрономов под руководством Луиса Стригари. У всех карликовых галактик – спутников Млечного Пути – гравитирующая масса одинакова, потому что она получается из "энтропии листа да Винчи", которая определяется как логарифм статистического веса, равного отношению сторон (длинной к короткой).

4. Вторым уникальным примером группы является так называемая крамерсовская электродинамика, изложенная на с. 47 в книге Эдмонда Бауэра "Теория групп и её приложения к квантовой механике". В книге поясняется, что в так называемом дипольном излучении электронов, при их рассеянии на кулоновском поле иона в плазме, излучается только один единственный фотон. Этот процесс первого порядка происходит с вероятностью, пропорциональной множителю α=е2/hc=1,137 (h – постоянная Планка). Процессом второго порядка будет квадрупольное излучение, при котором излучается (или поглощается) сразу два фотона. И этот процесс пропорционален множителю α2, и так далее. В целом, разложение потенциальной энергии электрона в поле иона в ряд по мультиполям соответствует разложению в ряд по числу фотонов, участвующих в процессе; такое соответствие в теории групп называется изоморфизмом представлений процесса. Если оборвать этот ряд (например, пренебречь квадрупольным и всеми более высокими членами разложения), то получим сугубо квантовую картину излучения, весьма далёкую от классической картины с участием сразу многих фотонов.

5. Теперь вернёмся к примеру с двойными листами да Винчи и рассмотрим случай нулевой температуры Т=0. При нулевой температуре, во-первых, основное термодинамическое тождество принимает вид , где – химический потенциал, а N – число составных частей системы. Во-вторых, при общей нулевой температуре все составные части следует считать одинаковыми. Таким образом, при нулевой температуре просто не требуется рассматривать какие либо гамильтонианы или спины взаимодействия.

6. Более того, требование нулевой температуры является здесь обязательным и позволяет исключить рассмотрение проблем лоренцевского сокращения длин всех отрезков, фигурирующих в данной задаче, что и позволяет ввести общую одинаковую гравитирующую массу для всех карликовых галакик – спутников Млечного Пути, проявляющих своё присутствие только участием в гравитационных взаимодействиях при отсутствии каких-либо других признаков их присутствия (они не участвуют ни в электромагнитных, ни в слабых ядерных, ни в сильных ядерных взаимодействиях). Единственный способ обнаружить их присутствие состоит в численном моделировании поведения всей их совокупности и последующем истолковании наблюдаемого движения звёзд, окружающих место расположения очередной выбранной карликовой галактики. Этот метод и был использован в роботе группы астрономов Стригари (см. [1–2]).

7. Наконец, полезно учесть, что именно при нулевой температуре можно ожидать (см. [3]) хорошей применимости нормального распределения Пуассона, когда имеется множество k независимых событий c вероятностями, определяемыми формулой Пуассона:

,

где  – среднее число событий при стандартном отклонении .

И в работе [2] приведены графики по моделированию 18 карликовых галактик, для которых разброс по светимостям охватывает четыре порядка солнечных светимостей. Если предполагать справедливость схемы Пуассона, то такой разброс светимостей должен соответствовать стандартному отклонению в два порядка солнечных единиц светимости.

Именно такие отклонения от мест наибольшей светимости и приведены в графиках статьи [2] для всех карликовых галактик – спутников нашего Млечного Пути

Литература

1. У галактик есть нижний предел массы // Природа. 2009. № 4. C. 68.

2. Nature, 2008, V. 454, p. 1096-1097/ Louis E. Strigari. "A common mass scale for satellite galaxies of the Milky way".

3. Основные формулы физики. Справочник под ред. А. Мензела. М.: Изд-во "Иностр. литература", 1957. С. 101.