// Материалы ХV конференции по философии техники и технетике и семинара по ценологии (Москва, 19 ноября 2010 г.). Вып. 47. "Ценологические исследования". – М.: Технетика, 2011. – 400 с.

 

ГРУППЫ И МЕТРИКИ В ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ТЕХНОЦЕНОЗА

С. А. Хорьков

 

Они так хорошо всем известны и так обычны, что

на них почти не обращают внимания и, хотя часто

они очень красивы, даже принимают меры, чтобы

эти узоры не появлялись на окнах.

Любищев А. А. Морозные узоры на окнах

(Наблюдения и размышления биолога).

Знание – сила, 1973, № 7.

 

Мы стоим на пороге области принадлежащей другой науке – физике,

и переступить его не даёт нам повода сегодняшний день.

Б. Риман. Лекция 1854 г.

"О гипотезах, лежащих в основаниях геометрии"

 

Я описал воображаемый мир, обитатели

которого неминуемо должны были бы

прийти к созданию геометрии Лобачевского.

А. Пуанкаре

 

– А Спиноза изложил Этику геометрическим стилем.

– Ну и что?

Неизвестный автор

 

Понятие "техноценоз" определяют через множество слабо взаимодействующих элементов техногенного происхождения, находящихся в установленных границах [1]. Распределение элементов в техноценозе по какому-либо признаку имеет степенной (гиперболический) вид. Для объяснения этого феномена может быть предложена геометрическая модель, включающая ограниченную окружностью – абсолютом – группу элементов. Граница – абсолют – недоступна для элементов, а группа есть множество элементов, включая единичный, на котором заданы операции композиции и обращения. Композиция двух любых элементов группы порождает третий элемент из того же множества, что и первые два. Операция обращения означает, что для каждого элемента группы существует обратный элемент. Композиция ассоциативна, т. е. порядок выполнения нескольких операций не имеет значения для конечного результата. Композиция единичного элемента и любого другого неединичного элемента группы вновь даёт неединичный элемент. В некоторых случаях под группой удобно понимать множество (замкнутое относительно операции композиции) движений, содержащее тождественное и обратное каждому движение.

Групповая модель техноценоза аналогична модели Кэли–Клейна для геометрии Лобачевского [2], которая также включает границу (абсолют) и множество элементов с заданной на нём группой. Инвариантом геометрической модели техноценоза является степеннóе (гиперболическое) распределение элементов.

В определённом смысле можно говорить о "переименовании" при помощи модели Кэли–Клейна, а значит – геометрической модели техноценоза некоторых объектов (и отношений между ними), относящихся к миру евклидовой геометрии, и приписывании им "имён" из мира геометрии неевклидовой. Таким образом, для описания этих объектов становятся пригодными как та, так и другая геометрии.

Расширение способов описания даёт новые возможности для понимания воспринимаемых образов. В [3] приведена репродукция гравюры М. К. Эшера "Предел круга I", которая даёт точное представление о геометрии Лобачевского. Гиперболическая плоскость помещена во внутреннюю область обычной евклидовой плоской окружности. Для гиперболического мира ограничивающая его окружность является недоступной "бесконечностью". Чем ближе к границе, тем теснее расположены фигуры экзотических рыб по отношению друг к другу. Однако понятие "расстояние" в гиперболической геометрии не совпадает с расстоянием на евклидовой плоскости, на которой и изображена первая из названных геометрий. С евклидовой точки зрения, рыбы при приближении к краю окружности становятся всё мельче и мельче. Гравюра М. К. Эшера очень точно иллюстрирует конформное представление гиперболической плоскости, она изоморфна модели Пуанкаре геометрии Лобачевского. В [3] приведён и второй вариант этой репродукции – проективная модель гиперболической геометрии – модель Кэли–Клейна.

Сравнение геометрической модели техноценоза и модели Кэли–Клейна показывает, что они имеют аналогичные структуры; как в той, так и в другой имеются: абсолют-граница, элементы, преобразование – математическая группа преобразований, инвариант, остающийся неизменным по отношению к преобразованиям. Отсюда следует, что с помощью геометрической модели техноценоза можно объяснить, почему при заданных условиях некоторые преобразования не могут изменить геометрическую форму. Другими словами: геометрическая модель имеет гиперболическое распределение, которое является инвариантным по отношению к определённому виду групповых преобразований.

Групповые свойства присущи и другим геометрическим образованиям, имеющим отношение к геометрической модели техноценоза. Известны групповые модели фракталов. С помощью теории групп возможно построение критерия для задачи вариационной оптимизации график, решения которой имеет степеннóй (гиперболический) вид. Теория групп позволяет описать гиперболоид, сечения которого представляют собой гиперболы. Групповые свойства присущи гиперболическим динамическим системам [4].

Техноценоз является также динамической системой. Динамическая система есть абстракция, при помощи которой возможно показать траекторию (эволюцию) объекта (множества) в n-мерном пространстве. Гиперболическая динамическая система обладает детерминистскими и эргодическими свойствами. Совместное изучение этих удивительных проявлений (два в одном) было положено в 60-е годы ХХ века работами Д. Смейла и Д. В. Аносова, в которых появились подкова Смейла [5] и диффеоморфизм Аносова [6].

В теории динамических систем гиперболическое инвариантное множество строго определено через отображение одних объектов в другие. Диффеоморфизм (отображение) f многообразия А гиперболичен на инвариантном множестве В, если касательное расслоение ТВА над В допускает непрерывное отображение в прямую сумму

,

причём подрасслоения гиперболической структуры Еu и Еs инвариантны относительно динамики, и векторы Еu растягиваются, а Еs – сжимаются под действием динамики:

,

где c1, c2>0, λ1>1>λ2>0 – константы.

Гиперболическая траектория определена менее строго. Траектория динамической системы называется гиперболической, если поведение соседних траекторий в направлении "поперёк к ней" аналогично поведению траекторий возле седловой точки. Отсюда следует, что сечение множества гиперболических траекторий динамической системы аппроксимируют гиперболой (степеннóй функцией); и наоборот: любую ранжированную гиперболическую последовательность можно представить как сечение гиперболической динамической системы. Поэтому теория гиперболических систем может быть приложена к гиперболическим ранговым распределениям.

Гиперболическая динамическая система на плоскости является, по Андронову и Понтрягину, грубой или структурно устойчивой [7]. Структурно устойчивая система является нечувствительной к деформациям, т. е. сохраняет свою структуру (форму) при возмущениях. Моделью динамической системы, проявляющей свойства детерминированного хаоса, является подкова Смейла.

Инварианты техноценоза находятся в зоне пристального внимания научного сообщества (не столько теоретиков, сколько прикладников). Однако основное направление исследований связано не с групповыми изысканиями, имеющими значительный прикладной потенциал, а с изучением негауссовых вероятностных распределений. Такое положение дел объясняется определёнными достижениями уже давно сложившихся направлений, очевидной случайностью появления элементов на кривой распределения, а также тем, что теория групп (опять же традиционно) не попадает в сферу инженерного образования.

Следует обратить внимание, что групповая идеология давно нашла подходы к гиперболическим ранговым распределениям (как самостоятельно, так и в рамках других научных направлений), причём под разными терминологическими оболочками. Более того, именно через неё гиперболические ранговые распределения связаны с другими инвариантами, и тем самым ещё раз подтверждена фундаментальность явления и продемонстрирована значительная частота его встречаемости.

Рассмотрим несколько групп движений, имеющих отношение к геометрической модели техноценоза (и геометрии Лобачевского).

Если группа со словарной метрикой на основе конечного числа образующих может быть вложена в гиперболическое метрическое пространство, то она является гиперболической. Свободная группа с любым числом образующих – гиперболична. Элементами свободной группы являются всевозможные слова из букв алфавита, не содержащие рядом стоящих символов [8]. Графически свободная группа может быть представлена графом Кэли, например, свободной (гиперболической) группы на основе двух образующих. Видно, что элементы графа, представляют собой копии (отображения) "сжатых-растянутых" образующих. Наличие этого признака характеризует "гипербо-личность" динамической системы. Группа линейных преобразований трёхмерного пространства SO (2,1) позволяет воспроизвести (сохранить) многообразие, являющееся гиперболоидом.

Рис. 1.

Такие преобразования оставляют на месте гиперболоид или меняют местами половинки двухполостного гиперболоида. Сечения однополостного гиперболоида представляет собой набор гипербол или окружностей [4]. Окружности можно рассматривать как модели Кэли–Клейна геометрии Лобачевского.

А. П. Левич, исходя из категорно-функторных представлений, предложил для сравнения структурированных множеств "энтропиеобразный" показатель [9]. Аналогичный критерий, как в удельной, так и в "неудельной" формах можно создать на основе теории групп. Например, логарифм факториала числа перестановок группы элементов ценоза за вычетом суммы логарифмов факториалов чисел перестановок элементов фактор-групп ценоза соответствует "неудельному" виду показателя, по А. П. Левичу:

,

где n!факториал числа перестановок элементов ценоза, w число классов (типов, видов) элементов ценоза, ni!факториал числа перестановок элементов фактор-группы.

Отличие заключается в том, что показатель у А. П. Левича, в зависимости от комбинации типов связей (инъективная, сюрьективная, функциональная, всюду определённая) между элементами, имеет 16 вариантов представления, а в показателе, сформированном на основе теории групп, тип связи не различается, а число связей выражено через число перестановок элементов.

Применение циклических групп на основе порождающих матриц позволяет получить как модель детерминированного хаоса, так и модели экспоненциального и гиперболического распределений элементов, например – распределений чисел ряда Фибоначчи и ряда Люка.

При помощи матрицы  может быть задано гиперболическое отображение на плоскости. Собственные числа матрицы ,  характеризуют отношение золотого сечения, и их произведение по абсолютной величине равно. Кроме того, собственный вектор, построенный на собственном числе λ1, растягивает элементы плоскости с коэффициентом λ1, а построенный на собственном числе λ2 – сжимает элементы плоскости с коэффициентом λ2. Таким образом, плоскость под действием отображения А1 приобретает свойство гиперболичности. Ряд натуральных чисел, полученный под действием А1, как показано в [4], есть ряд чисел Фибоначчи.

Матрица А1 во второй степени даёт матрицу А2=, собственные значения которой равны ,  и . Отображение на основе А2 с одновременным взятием дробной части (mod 1) получило название "кот Арнольда" [10]. Это отображение можно представить в матричном виде как

Последовательные растяжения и сжатия изображения "кота" на единичном квадрате с перекладыванием получившихся фрагментов в исходный квадрат (за счёт операции mod 1) приводят к наглядному изображению детерминированного хаоса.

Если построить циклическую группу вида , то собственные числа матриц для различных целых значений её степени получат выражения, представленные в табл. 1.

 

Таблица 1

Показатель степени

матрицы, n

1

 

2

 

3

 

4

 

5

 

6

 

7

 

8

 

9

 

Собственные числа матри-цы,

 

Следует заметить, что собственные числа из табл. 1 имеют замечательную структуру. Буквенное выражение для них имеет вид , где Li и Fi – числа ряда Люка и Фибоначчи, соответственно. Кроме того, структурные соотношения проявляются как для произведения собственных чисел матрицы, так и для их суммы. Значения произведений и сумм собственных чисел для матриц с показателями степени от 1 до 30 представлены в табл. 2.

Здесь видно, что произведения собственных чисел матрицы чередуются знаками и равны , а сумма собственных чисел повторяет числа ряда Люка. Ранжированный график ряда Люка из табл. 2 может быть аппроксимирован экспонентой у=3·106·exp(-0,4837x), R2=0,9996, а после замены аргумента на логарифм аргумента – степеннóй функцией у=3·106·х-0,4837.

Модель гиперболического распределения элементов техноценоза через произведение простых чисел, возведённых в степени

,

предложил Б. И. Кудрин [1]. Она изоморфна групповой модели техноценоза через р-подгруппы порядка pk [11]. Другими словами, модель простых чисел, возведённых в степени, является групповой моделью техноценоза (ценоза).

 

Таблица 2

Показатель степени матрицы, n

Собственное число матрицы,

Собственное число матрицы,

Произведение собст-венных чисел

матрицы,

Сумма собственных чисел матрицы, . Ряд Люка

1

 

1,618034

 

-1,61803

-1

 

1

 

2

 

2,618034

 

0,381966

1

 

3

 

3

 

4,236068

 

-0,23607

-1

 

4

 

4

 

6,854102

 

0,145898

1

 

7

 

5

 

11,09017

 

-0,09017

-1

 

11

 

6

 

17,94427

 

0,055728

1

 

18

 

7

 

29,03444

 

-0,03444

-1

 

29

 

8

 

46,97871

 

0,021286

1

 

47

 

9

 

76,01316

 

-0,01316

-1

 

76

 

10

 

122,9919

 

0,008131

1

 

123

 

11

 

199,005

 

-0,00502

-1

 

199

 

12

 

321,9969

 

0,003106

1

 

322

 

13

 

521,0019

 

-0,00192

-1

 

521

 

14

 

842,9988

 

0,001186

1

 

843

 

15

 

1364,001

 

-0,00073

-1

 

1364

 

16

 

2207

 

0,000453

1

 

2207

 

17

 

3571

 

-0,00028

-1

 

3571

 

18

 

5778

 

0,000173

1

 

5778

 

19

 

9349

 

-0,00011

-1

 

9349

 

20

 

15127

 

6,61E-05

1

 

15127

 

21

 

24476

 

-4,1E-05

-1

 

24476

 

22

 

39603

 

2,53E-05

1

 

39603

 

23

 

64079

 

-1,6E-05

-1

 

64079

 

24

 

103682

 

9,64E-06

1

 

103682

 

25

 

167761

 

-6E-06

-1

 

167761

 

26

 

271443

 

3,68E-06

1

 

271443

 

27

 

439204

 

-2,3E-06

-1

 

439204

 

28

 

710647

 

1,41E-06

1

 

710647

 

29

 

1149851

 

-8,7E-07

-1

 

1149851

 

30

 

1860498

 

5,37E-07

1

 

1860498

 

 

В геометрической модели техноценоза по аналогии с моделью Кэли–Клейна может быть введена метрика в виде логарифма двойного отношения (метрика Кэли) [2]. Тогда внутри окружности (в рамках модели) на рис. 2 одинаковые в смысле Евклида отрезки, "измеренные" метрикой Кэли, могут быть распределены (упорядочены) по закону логарифма. Пусть имеется N, например, 95 одинаковых, по Евклиду, отрезков, расположенных на диаметре, с одной стороны от центра окружности. Между отрезками нет промежутков. Крайний правый отрезок имеет ранг №1 и находится левее точки b на границе-абсолюте, а крайний левый отрезок с рангом № 95 – правее центра окружности.

Рис. 2.

 

         Будем по выражению Ln(abcd) последовательно вычислять метрику Кэли для каждого отрезка, начиная с крайнего правого в направлении крайнего левого. Заметим, что если точки а и в, расположенные на границе-абсолюте, являются "неподвижными", то точки с и d будут последовательно "сдвигаться" от отрезка № 1 в направлении отрезка № 95. На рис. 3,а представлен график, полученный аппроксимацией логарифмической функцией значений отрезков рис. 2, вычисленных с помощью метрики Кэли. График на рис. 3,б отличается лишь логарифмическим масштабом оси рангов.

 

Рис. 3,а

Рис. 3,б

 

 

При отсутствии координатной сетки положение контрольной точки на графике 3,б невозможно определить по каким-либо качественным признакам. Тем самым метрика Кэли, при помощи которой построен график, приближает модель к миру фрактальной геометрии, характеризующемся самоподобием и масштабной инвариантностью.

Итак. Техноценоз (ценоз) есть результат движений, состоящих из множества однотипных действий – группы движений. Поэтому геометрическая модель адекватна степеннóму (гиперболическому) распределению его элементов. Ранжированное распределение инвариантно действию группы. Нахождение инвариантных распределений и показателей техноценоза является основой для его расчёта и прогноза. Негауссовость распределения элементов техноценоза является следствием большого количества групповых действий. Техноценозы имеют индивидуальные черты: у каждого образования имеются своя группа движений и своя метрика. Группа в заданных границах описывает (порождает) разнородные объекты, а метрика позволяет определить расстояние между ними. Множество однотипных действий порождает ценозы как массовое явление. Если отсутствует группа движений, то нет и ценоза.

Перечислим основные типы действий (процессы, структуры), позволяющие построить геометрическую модель техноценоза (ценоза). Это действия, фиксирующие сжатие-растяжение с последующим отображением результата на исходную форму: процессы, скорость изменения которых пропорциональна значению (величине) ресурса; процессы, максимизирующие число структурных элементов, при распределении ресурса; структуры, обладающие самоподобием и масштабной инвариантностью, иначе – фрактальностью; процессы, порождающие конкуренцию элементов за обладание ресурсом.

           

Литература

 

1.            Кудрин Б. И. Математика ценозов: видовое, ранговидовое, ранговое по параметру гиперболические Н-распределения и законы Лотки, Ципфа, Парето, Мандельброта. В кн.: Философские основания технетики. Вып.19. "Ценологические исследования". М.: Центр системных исследований. – 2002. – С. 357412.

2.            Комацу М. Многообразие геометрии / Пер.с япон. М.: Знание. – 1981, 208 с.

3.            Пенроуз Р. Пути к реальности, или законы, управляющие Вселенной. Полный путеводитель. – М.–Ижевск: Институт компьютерных исследований, НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика". – 2007. – 912 с.

4.            Хорьков С. А. Техноценологические модели, методики и расчёты электропотребления промышленного предприятия. – Ижевск: КнигоГрад. – 2011. – 108 с.

5.            Смейл С. Структурно устойчивый дифференцируемый гомеоморфизм с бесконечным числом периодических точек. – Киев: Институт математики АН УССР. – 1961. – С. 13.

6.            Аносов Д. В. Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны / Труды матем. ин-та им. В. А. Стеклова. – 1967. – 210 с.

7.            Андронов А. А., Понтрягин Л. С. Грубые системы / Доклады АН. – 1937. – С. 247250.

8.            Громов М. Гиперболические группы. – Ижевск: Институт компьютерных технологий. – 2002. –160 с.

9.            Левич А. П., Алексеев В. Л.. Энтропийный экстремальный принцип в экологии сообществ: результаты и обсуждения // Биофизика. 1997. т. 42. – вып. 2. – С. 534541.

10.       Кузнецов С. П. Динамический хаос (курс лекций): Учеб. пособие для вузов. 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Изд-во Физ.-мат. литературы. – 2006. – 356 с.

11.       Босс В. Лекции по математике. Т. 8: Теория групп. Учеб. пособие. 2-е изд., испр. и доп. – М.: Книжный дом "ЛИБРОКОМ". – 2009. – 216 с.

12.       Трубников Б. А. Конкуренция в природе и обществе // Природа. 1993. № 11. С. 3–13.