Оптимальное управление токами трёхфазного асинхронного двигателя.

В. Г. Макаров, канд. техн. наук, доцент, зав. кафедрой, electroprivod@list.ru

            Эффективные системы частотно-регулируемого электропривода с асинхроными двигателями (АД) невозможно реализовать без решения тех или иных задач оптимизации. Сформулируем задачу оптимального управления АД, принимая традиционные для обобщённой электрической машины (ОЭМ) допущения. Одним из таких допущений является отсутствие насыщения магнитной системы. Предположим, что механические процессы протекают медленнее, чем электромагнитные, т.е. условимся, что имеет место квазистационарный режим протекания токов. Потери энергии в стали не учитываем.

            Уравнения баланса напряжений ОЭМ на основе АД для квазистационарного режима имеют вид:

где - напряжения фаз обмотки статора;   - токи фаз обмоток статора и ротора; - активные сопротивления и индуктивности фаз обмоток статора и ротора; - взаимная индуктивность;  - частота вращения системы координат d, q, эл. рад/с;  — частота скольжения (разность частоты вращения системы координат   и частоты вращения ротора .

            Электромагнитный момент определяется выражением:

,

где р_п – число пар полюсов.

            Предположим, что напряжения фаз обмотки статора не превышают допустимых значений. Следовательно, уравнения баланса напряжений фаз обмотки статора системы (1) при оптимизации можно не учитывать.

            Условимся также, что электромагнитный момент, определяемый выражением (2), равен требуемому значению

.

            Задача оптимизации решается при фиксированных значениях угловой частоты вращения ротора .  Угловая частота вращения системы координат d, q рассчитывается вычислительным устройством по формуле:

.

            Необходимо определить токи создающие требуемый электромагнитный момент  при минимальных потерях в обмотках:

.

            Следовательно, может быть сформулирована задача оптимизации: при заданных и требуется найти четыре тока и частоты ,  при четырёх функциях офаничений типа равенства:

когда критерием оптимизации является выражение (5).

От такой постановки задачи оптимизации перейдём к постановке и решению задачи оптимального изменения угловой частоты скольжения , в функции угловой частоты вращения ротора из условия минимума мощности потерь в обмотках при заданном значении электромагнитного момента . Для решения задачи оптимизации имеем два уравнения системы (1), а также уравнения (3), (4).

            Получены следующие основные результаты.

            1. Соотношение между величинами векторов токов и параметрами фаз обмоток статора и ротора ОЭМ на основе АД. Условимся, что вектор тока статора направлен по оси d ОЭМ:

Тогда из системы (1) и уравнения (2) следует:

Из уравнений системы (7) получаем выражения:

Тогда величина вектора тока ротора ОЭМ определяется выражением:

С учётом (9) запишем выражение для мощности потерь в виде:

Выражение электромагнитного момента системы (7) с учётом (8) принимает вид:

            Анализ выражений (10), (11) показывает, что мощность потерь и электромагнитный момент зависят от угловой частоты скольжения .

            Выбирая в качестве критерия оптимизации удельную мощность потерь, можем записать:

            Приравняв производную от (12) нулю, получаем выражение оптимальной частоты скольжения:

            Анализ выражения (13) показывает, что оптимальная частота скольжения не зависит от требуемого момента и от частоты вращения , т.е. постоянна. Очевидно, что в этом случае токи  .

            При заданном значении электромагнитного момента на основании (11) можем определить величину вектора тока  :

Подставив (13) в (9), получим соотношение между величинами токов и параметрами фаз обмоток статора и ротора ОЭМ на основе АД:

В (14) фигурируют величины векторов токов обмоток статора и ротора ОЭМ, определяемые выражениями:

На основании двух первых уравнений системы (1) с учётом (6) и (8) можем записать выражения фазных напряжений:

Действующее значение фазного напряжения

2. Результаты численного решения задачи оптимизации. Выше показано, что критерием оптимизации является минимум удельной мощности потерь. Однако важной энергетической характеристикой является коэффициент полезного действия (КПД):

Мощность на вату P₂ определяем без учёта механических потерь

С использованием рассмотренного математического описания произведено решение задачи оптимизации мощности потерь в обмотках ОЭМ на базе асинхронного двигателя АИР80А6У2 в зависимости от частоты скольжения. Решение задачи оптимизации производилось методом квадратической интерполяции при условии, что требуемый электромагнитный момент равен номинальному (рис. 1).

На рис. 1, а приведены зависимости мощности потерь в обмотках и удельной мощности потерь в обмотках от частоты скольжения; на рис. 1, б - зависимости КПД от частоты скольжения, полученные при фиксированных значениях угловой частоты вращения ротора ω от 60 эл. рад/с до 300 эл. рад/с с шагом 60 эл. рад/с (отмечены цифрами от 1 до 5 соответственно). В ходе решения задачи оптимизации найдены оптимальные зависимости частот , , токов и напряжений фаз ОЭМ от частоты .

            На рис. 2 приведены оптимальные зависимости частот  (кривые /, 2) и   (кривые 3, 4) от частоты вращения . При этом задавали значения требуемого электромагнитного момента от 0,25 до 1,25 номинального с шагом 0,25 как при положительных, так и при отрицательных значениях . Кривые 1 и 3 получены при положительных, а кривые 2 и 4 - при отрицательных значениях требуемого электромагнитного момента. Очевидно, что оптимальные частоты вращения  и от величины требуемого электромагнитного момента не зависят.

Рис.1. Зависимости мощности потерь в обмотках, удельной мощности потерь в обмотках

и КПД от частоты скольжения.

            Видно, что мощность потерь в обмотках и удельная мощность потерь не зависят от частоты вращения ротора (рис. 1, а), поскольку при различных фиксированных значениях со получаем одни и те же кривые. Минимум указанных зависимостей наблюдается при оптимальной частоте скольжения , равной 8,785 эл. рад/с. Анализ зависимостей на рис. 1, б показывает, что с увеличением частоты вращения ротора наблюдается увеличение КПД, и при любых значениях ω максимум КПД наблюдается при оптимальной частоте скольжения , равной -8,785 эл. рад/с.

            Оптимальная частота скольжения не зависит от величины требуемого электромагнитного момента и остаётся постоянной при любых значениях частоты вращения ω (см. рис. 2). Однако при изменении знака требуемого электромагнитного момента знак частоты скольжения изменяется. Следует отметить, что кривые  при различных значениях электромагнитного момента симметричны относительно начала координат. Оптимальное значение  равно 8,785 эл. рад/с при положительных значениях требуемого электромагнитного момента, -8,785 эл. рад/с — при отрицательных его значениях.

Рис. 2. Оптимальные зависимости частот  и  от частоты вращения

Величины и параметры	Значения величин и параметров при требуемом электромагнитном моменте (в долях от номинального )
	0,25	0,5	0.75	1	1,25
			1,683
	1,118	1,580	1,936	2,235	2,499
	0,664	0,939	1,150	1,328	1,485
	1.683	1.683	1,683	1,683	1,683

            В процессе решения задачи оптимизации проводили анализ выполнения выражения (14). Результаты решения задачи оптимизации, приведённые в таблице, подтверждают, что соотношение (14) выполняется при любых значениях электромагнитного момента. Видно, что при задании оптимальной частоты скольжения минимум потерь в обмотках для требуемых значений электромагнитного момента может быть достигнут при выполнении соотношения (14).

            На основании (15) получены зависимости напряжений фаз обмотки статора от угловой частоты вращения при различных значениях момента, представленные на рис. 3. Оптимальные зависимости  при положительных значениях  показаны на рис. 3, а; при отрицательных - на рис. 3, б. Кривые фазных напряжений статора на рис. 3 получены при фиксированных значениях требуемого электромагнитного момента от 0,25 до 1,25 номинального значения с шагом 0,25 от номинального (отмечены цифрами от 1 до 5 соответственно). Указанный диапазон и шаг изменения задавались как для положитель¬ных, так и для отрицательных значений момента. Отметим, что минимумы зависимостей наблюдаются на частоте - 44,64 эл. рад/с при положительных значениях электромагнитного момента и 44,64 эл. рад/с при отрицательных его значениях. Именно на этих частотах происходит изменение знака функции .

Выводы

1.  Для постановки и решения задачи оптимизации мощности потерь в обмотках асинхронного двигателя в зависимости от частоты скольжения целесообразно использовать математическое описание обобщённой электрической машины в установившемся режиме.

2.  Показано, что критериями оптимизации могут быть мощность потерь в обмотках и удельная мощность потерь.

3.  В ходе решения задачи оптимизации аналитическими методами получено выражение оптимальной частоты скольжения, а также соотношение между величинами токов и параметрами фаз обмоток статора и ротора обобщённой электрической машины на основе асинхронного двигателя.

4.  Результаты численного решения задачи оптимизации позволили выявить, что мощность потерь и удельная мощность потерь от частоты вращения ротора не зависят. Каждая из этих зависимостей является унимодальной функцией. Кроме того, установлено, что зависимости КПД от частоты скольжения при различных частотах вращения ротора обладают свойством подобия и имеют точку явно выраженного максимума.

5.  В ходе численного решения задачи оптимизации получены зависимости фазных напряжений статора от частоты вращения при различных значениях электромагнитного момента. Эти зависимости подобны, каждая из них является унимодальной функцией.